1、第二章函数、导数及其应用第1讲函数及其表示 考纲解读1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念(重点)2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(重点)3了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点预测2021年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.1.函数与映射函数映射两个集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中
2、都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射函数记法函数yf(x)，xA映射：f：AB2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据3函数的表示法表示函数
3、的常用方法有解析法、图象法和列表法4分段函数(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数(2)分段函数的相关结论分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集1概念辨析(1)对于函数f：AB，其值域就是集合B.()(2)A1,4,9，B3，2，1,1,2,3f：xx的平方根是A到B的映射()(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点()(4)函数y1与yx0是同一个函数()答案(1)(2)(3)(4) 2小题热身(1)函数y的定义域为()A. B(，3
4、)(3，)C.(3，) D(3，)答案C解析由解得x且x3，所以已知函数的定义域为(3，)(2)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1答案B解析对于A，函数y()2的定义域为x|x1，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y1的定义域为x|x0，与函数yx1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数(3)若函数f(x)则ff(1)的值为()A10 B10 C2 D2答案C解析f(1)2142，ff(1)f(2)2(2)22.(4)函数yf(x)的图象如图所示，那么，f
5、(x)的定义域是_，值域是_，其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是_(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)答案3,01,4)1，)1,2)(5，)解析观察函数yf(x)的图象可知，f(x)的定义域为3,01,4)，值域是1，)，当y1,2)(5，)时，只有唯一的x值与之对应(5)已知fx25x，则f(x)_.答案(x0)解析令t，则t0，x，f(t)25.所以f(x)(x0)题型 一函数的定义域 1函数y(x1)0的定义域是()Ax|3x1 Bx|3x2且x1Cx|0x2 Dx|1x2答案B解析要使函数解析式有意义，须有解得所以3x2且x1.故已知函数的定义域为x|3x2且x12函数
6、f(x)的定义域是2，)，则函数y的定义域是()A1，) B(，1C1,2)(2，) D2，)答案C解析依题意得解得x1且x2，所以函数y的定义域是1,2)(2，)3(2020安阳三校联考)若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是()A0,4) B(0,4)C4，) D0,4答案D解析由题意可得mx2mx10恒成立当m0时，10恒成立；当m0时，则解得01)解析令t1，则由x0知11，x，所以由flg x，得f(t)lg (t1)，所以f(x)lg (x1)2已知fx2x2，则f(x)_.答案x22(x2或x2)解析因为fx2x222，且当x0时，x2；当x0时，x2，所以f(x
7、)x22(x2或x2)3已知f(x)是二次函数且f(0)5，f(x1)f(x)x1，则f(x)_.答案x2x5解析因为f(x)是二次函数且f(0)5，所以设f(x)ax2bx5(a0)又因为f(x1)f(x)x1，所以a(x1)2b(x1)5(ax2bx5)x1，整理得(2a1)xab10，所以解得a，b，所以f(x)x2x5.4已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.答案2x(x0)解析因为2f(x)f3x，所以将x用替换，得2ff(x)，由解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)求函数解析式的四种方法 1若函数f(x)是一次函数，且ff(x)4x3，则函数
8、f(x)的解析式为_答案f(x)2x1或f(x)2x3解析设f(x)axb(a0)，则ff(x)af(x)ba2xabb4x3，解得或f(x)2x1或f(x)2x3.2已知f(1)x2，则函数f(x)的解析式为_答案f(x)x21(x1)解析解法一：f(1)x2()2211(1)21，且11.f(x)x21(x1)解法二：设t1，则x(t1)2(t1)代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21(x1)题型 三分段函数 角度1求分段函数的函数值1已知函数f(x)则f等于()A4 B. C4 D答案B解析flog52，ff(2).角度2分段函数与方程、不等式的综
9、合问题2设函数f(x)若f4，则实数a()A BC或 D2或答案A解析因为(成立)；若a1，即a(舍去)，综上a.3(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，) C(1,0) D(，0)答案D解析将函数f(x)的图象画出来，观察图象可知解得x0，所以满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是(，0)故选D.1求分段函数的函数值(1)基本步骤确定要求值的自变量属于哪一区间代入该区间对应的解析式求值(2)两种特殊情况当出现ff(a)的形式时，应从内到外依次求值如举例说明1.当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端
10、点如举例说明2，求f后再求f要分类讨论2解分段函数与方程或不等式问题的策略求解与分段函数有关的方程或不等式问题，主要表现为解方程或不等式应根据每一段的解析式分别求解若自变量取值不确定，则要分类讨论求解；若自变量取值确定，则只需依据自变量的情况直接代入相应的解析式求解解得值(范围)后一定要检验是否符合相应段的自变量的取值范围如举例说明3. 1设函数f(x)则ff(4)_.答案1解析ff(4)f(1642)f(10)1.2函数f(x)若f(a)a，则实数a的取值范围是_答案1，)解析当a0时，由f(a)a1a，解得a2，所以a0；当a0时，由f(a)a，解得1a1且a0，所以1a0时，1a1，由f
11、(1a)f(1a)，可得2(1a)a(1a)2a，解得a，不符合题意当a1,1a1，即log2(a1)3，解得a7，所以f(6a)f(1)222.6已知Ax|xn2，nN，给出下列关系式：f(x)x；f(x)x2；f(x)x3；f(x)x4；f(x)x21，其中能够表示函数f：AA的个数是()A2 B3 C4 D5答案C解析Ax|xn2，nN，中f(x)x，若xA，则xn2，nN，则f(x)n2，nN，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；中f(x)x2，若xA，则xn2，nN，则f(x)(n2)2，n2N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；中f
12、(x)x3，若xA，则xn2，nN，则f(x)(n3)2，n3N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；中f(x)x4，若xA，则xn2，nN，则f(x)(n4)2，n4N，满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故正确；中f(x)x21，若x1，则f(x)2A，不满足A中任何一个元素，在A中都有唯一的元素与之对应，故错误；故能够表示函数f：AA的个数是4.7(2020马鞍山质量检测)已知函数f(x)则f(1)f()f()f()()A44 B45 C1009 D2018答案A解析因为4421936,4522025，所以4445，所以1，中有44个有理数，所以f
13、(1)f()f()f()44.8若函数f(x)ln (bx)的定义域为2,4)，则ab_.答案5解析要使函数有意义，则解不等式组得函数f(x)ln (bx)的定义域为2,4)，ab145.9若函数f(x)在闭区间1,2上的图象如图所示，则此函数的解析式为_答案f(x)解析由题意，当1x0时，直线的斜率为1，方程为yx1；当0x2时，直线的斜率为，方程为y x.所以函数的解析式为f(x)10已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_答案4,2解析解法一：由题意知或解得4x0或00时，f(x)|log2x|.当0x1时，log2x，x.所以使f(x)的x的集合为.4设函数f(x)已知f(a)1
14、，则a的取值范围是_答案(，2)解析解法一：(数形结合)画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y1，由图可见，符合f(a)1的a的取值范围为(，2).解法二：(分类讨论)当a1时，由(a1)21，得a11或a10或a2，又a1，a2；当1a1，得a，又1a1，a1，得0a，又a1，此时a不存在综上可知，a的取值范围为(，2).5已知函数f(x)则f(2log32)的值为_答案解析2log312log322log33，即22log323，f(2log32)f(2log321)f(3log32)又33log324，f(3log32)3log323log32(31)log323log323log3，f(2log32).6已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)2f(x1)，且f(x)在区间0,1上有表达式f(x)x2.(1)求f(1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间1,1上的表达式解(1)由题意知f(1)2f(11)2f(0)0，f(1.5)f(10.5)f(0.5).(2)当x0,1时，f(x)x2；因为xR，都有f(x)2f(x1)，所以当x1,0)时，x10,1)，f(x)2f(x1)2(x1)2；所以f(x)