1、第4讲随机事件的概率考纲解读1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别2会用频率估计概率，掌握概率的基本性质(重点)3了解两个互斥事件的概率加法公式(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2021年将会考查：对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率试题难度不大，属中、低档题型.1.事件的分类2频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机
2、事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率3事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且AB，那么称事件A与事件B相等AB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件
3、B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB且ABU4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)1P(B)1概念辨析(1)“方程x2x10有两个实根”是不可能事件()(2)频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生()(4)对于任意事件A，B，总有公式P(AB)P(A)P(B)()(5)对立
4、事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()答案(1)(2)(3)(4)(5)2小题热身(1)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A是互斥事件，不是对立事件B是对立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是对立事件D既不是互斥事件也不是对立事件答案C解析3名男生和2名女生，从中任选2名有以下可能：全是男生；恰有1名女生；全是女生，所以“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果
5、3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率答案0解析由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则是假命题；抛硬币时出现正面的概率是，不是，则是假命题；频率和概率不是同一个概念，则是假命题综上可知，正确的命题有0个(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A抽到一等品，事件B抽到二等品，事件C抽到三等品，且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_答案0.35解析“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P1P(A)10.650.35.(4)刘老师在某
6、大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成绩分布：成绩人数90分以上428089分1727079分2406069分865059分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：90分以上的概率是_；不及格(60分及以上为及格)的概率是_答案0.070.1解析用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为0.07，不及格的概率为0.1.题型一互斥、对立事件的判断1有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是()A互斥但非对立
7、事件 B对立事件C相互独立事件 D以上都不对答案A解析“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立2从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是()A恰有1个是奇数和全是奇数B恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C至少有1个是奇数和全是奇数D至少有1个是偶数和全是偶数答案A解析从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A两个奇数，B一个奇数，一个偶数，C两个偶数，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用
8、定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：恰有1名男生和恰有2名男生；至少有1名男生和至少有1名女生；至少有1名男生和全是男生；至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是_(填序号)答案解析对于事件，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事件，至少有1名男生和至少有1
9、名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件题型二随机事件的频率与概率1(2019石家庄模拟)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：34343
10、2341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为()A. B. C. D.答案C解析由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为.故选C.2某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100
11、200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)计算两地区参加测试的儿童得60分以上的频率(保留两位小数)；(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率解(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.1概率与频率的关系2随机事件概率的求法对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：抽取件数n50100
12、200500600700800次品件数m021227273540次品率(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？解(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)，知出现次品的频率在0.05附近摆动，故P(A)0.05.(3)设需进货x件，则x(10.05)1000，解得x1053，故至少需进货1053件题型三互斥事件与对立事件的概率角度1互斥事件概率公式的应用1(2018全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.
13、45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7答案B解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)P(B)P(C)1，因为P(A)0.45，P(C)0.15，所以P(B)0.4.故选B.角度2对立事件概率公式的应用2某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数/人012345概率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值解记事件“在数学
14、竞赛中，有k人获奖”为Ak(kN，k5)，则事件Ak彼此互斥(1)获奖人数不超过2人的概率为0.56，P(A0)P(A1)P(A2)0.10.16x0.56.解得x0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)10.960.04，即z0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)P(A4)P(A5)0.44，即y0.20.040.44，解得y0.2.求复杂的互斥事件概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)1(2019天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数012345概率0.10.160.30.30.10.
15、04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_答案0.74解析由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.30.30.10.040.74.2某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知，得25y105
16、5，x3045，所以x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)，P(A2).P(A)1P(A1)P(A2)1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.组基础关1(2019银川四校联考)下列结论正确的是()A事件A的概率P
17、(A)必满足0P(A)1B事件A的概率P(A)0.999，则事件A是必然事件C用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显疗效，现有一名胃溃疡病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖答案C解析A错误，应该有0P(A)1；由概率的意义可知，B，D错误，C正确2把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A是对立事件B是不可能事件C是互斥事件但不是对立事件D不是互斥事件答案C解析“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但可能都不发生，所以这两个事件互斥但
18、不对立3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A. B. C. D1答案C解析因为从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，所以从中任意取出2粒恰好是同一色的概率为.4(2019石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A0.95 B0.97 C0.92 D0.08答案C解析记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P
19、(C)15%3%92%0.92.5从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8答案A解析由题意，得身高超过175 cm的概率为P10.30.50.2.6根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A15% B20% C45% D65%答案D解析因为该地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B
20、型30%，AB型5%.现在能为A型病人输血的有O型和A型，故能为该病人输血的概率为50%15%65%.故选D.7掷一个骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A发生的概率为()A. B. C. D.答案C解析掷一个骰子的试验有6种可能结果依题意P(A)，P(B)，P()1P(B)1.表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A)P(A)P().8某射击选手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心的次数8194492178455则这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为
21、_(精确到0.1)答案0.9解析根据已知条件列出下表：射击次数102050100200500击中靶心的次数8194492178455频率0.800.950.880.920.890.91由表中数据可估计这名射击选手射击一次，击中靶心的概率约为0.9.9如果事件A与B是互斥事件，且事件AB发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为_答案0.16解析设P(A)x，则P(B)3x，又因为P(AB)P(A)P(B)x3x0.64，所以x0.16，则P(A)0.16.10一个不透明的袋子中装有7个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，从中无放回地任意抽取两次，每
22、次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色球的概率为_，至少取得一个红球的概率为_答案解析由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，因此事件C：“取得两个同颜色球”，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同颜色球的概率为P(C).由于事件A：“至少取得一个红球”与事件B：“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.组能力关1在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互
23、斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且ABCD是一个必然事件，故各事件的关系可由如图所示的Venn图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件2若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析由题意可得即解得a.3已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,
24、4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_答案0.25解析20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.4某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查这1000名购物者2019年网上购物金额(单位：万元)均在区间0.3,0.9内，样本分组
25、为：0.3,0.4)，0.4,0.5)，0.5,0.6)，0.6,0.7)，0.7,0.8)，0.8,0.9，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组0.3,0.5)0.5,0.6)0.6,0.8)0.8,0.9发放金额50100150200(1)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率解(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x0.3x0.50.5x0.60.6x0.80.8x0.9y5
26、0100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为(5040010030015028020020)96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)，知P(y150)P(0.6xP(A2)，所以甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，因为P(B1)P(B2)，所以乙应选择L2.2某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的
27、200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据，知一年内出险次数小于2的频率为0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据，知一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据，得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.1925a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.