1、(建议用时：70分钟)1. 如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点求证：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.证明(1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面B
2、CE平面CDE.2(2015南京、盐城一模)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点(1)求证：BF平面A1EC；(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.证明(1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABCA1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OAOC1.又因为F为AC的中点，所以OFCC1且OFCC1.因为E为BB1的中点，所以BECC1且BECC1.所以BEOF且BEOF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BFOE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF平面A1EC.(2)由(1)知BFOE，因为ABCB，F为AC的中
3、点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BFOE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1ACA，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3(2015常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABBC，E，F分别是A1B，AC1的中点(1)求证：EF平面ABC；(2)求证：平面AEF平面AA1B1B；(3)若A1A2AB2BC2a，求三棱锥FABC的体积(1)证明连接A1C.直三棱柱A1B1C1ABC中，AA1C1C是矩形，点F在A1C上，且为A1C的中点在A1BC中，E，F分别是A
4、1B，A1C的中点，EFBC.又BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(2)证明直三棱柱A1B1C1ABC中，B1B平面ABC，B1BBC.EFBC，ABBC，ABEF，B1BEF.B1BABB，EF平面ABB1A1.EF平面AEF，平面AEF平面ABB1A1.(3)解VFABCVA1ABCSABCAA1a22a.4. (2014北京海淀区模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABAC，ACAA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点(1)求证：AB平面AA1C1C；(2)若线段AC上的点D满足平面DEF平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；(3)证明：E
5、FA1C.(1)证明A1A底面ABC，A1AAB，又ABAC，A1AACA，AB平面AA1C1C.(2)解平面DEF平面ABC1，平面ABC平面DEFDE，平面ABC平面ABC1AB，ABDE，在ABC中E是BC的中点，D是线段AC的中点(3)证明在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAC，侧面A1ACC1是正方形，A1CAC1，由(1)可得ABA1C，ABAC1A，A1C平面ABC1，A1CBC1.又E，F分别为棱BC，CC1的中点，EFBC1，EFA1C.5. (2014江西卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1.(1)求证：A1CCC1；(2)若AB2，AC，BC
6、，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值(1)证明由AA1BC知BB1BC，又BB1A1B，且BC平面BCA1，A1B平面BCA1，BCA1BB，故BB1平面BCA1，由A1C平面BCA1可得BB1A1C，又BB1CC1，所以A1CCC1.(2)解法一设AA1x，在RtA1BB1中，A1B.同理，A1C.在A1BC中，cos BA1C，sin BA1C，所以SA1BCA1BA1Csin BA1C.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.因为x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.法二如图，过A1作BC的垂线，垂足为D，连接AD.由于AA1BC，A1DB
7、C，故BC平面AA1D，BCAD，又BAC90，所以SABCADBCABAC，得AD.设AA1x，在RtAA1D中，A1D，SA1BCA1DBC.从而三棱柱ABCA1B1C1的体积VSA1BCAA1.因为x，故当x，即AA1时，体积V取到最大值.6. 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，PDEA，ADPD2EA2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点(1)求证：FG平面PDE；(2)求证：平面FGH平面ABE；(3)在线段PC上是否存在一点M，使PB平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由(1)证明因为F，G分别为PB，BE的中点，所以FGPE，又FG平面P
8、DE，PE平面PDE，所以FG平面PDE.(2)证明因为EA平面ABCD，所以EACB.又CBAB，ABAEA，所以CB平面ABE.由已知F，H分别为线段PB，PC的中点，所以FHBC.则FH平面ABE.而FH平面FGH，所以平面FGH平面ABE.(3)解在线段PC上存在一点M，使PB平面EFM.证明如下：如图，在PC上取一点M，连接EF，EM，FM.在直角三角形AEB中，因为AE1，AB2，所以BE.在直角梯形EADP中，因为AE1，ADPD2，所以PE，所以PEBE.又F为PB的中点，所以EFPB.要使PB平面EFM，只需使PBFM.因为PD平面ABCD，所以PDCB，又CBCD，PDCDD，所以CB平面PCD，而PC平面PCD，所以CBPC.若PBFM，则PFMPCB，可得.由已知可求得PB2，PF，PC2，所以PM.