1、课时跟踪检测(七)空间向量运算的坐标表示A级基础巩固1已知A(3，2，4)，B(0，5，1)，若(O为坐标原点)，则C的坐标是()A.B.C. D.解析：选B(3，7，5)，(3，7，5).点C的坐标为.故选B.2(多选)若向量a(1，2，0)，b(2，0，1)，则()Acosa，b BabCab D|a|b|解析：选AD向量a(1，2，0)，b(2，0，1)，|a|，|b|，ab1(2)20012，cosa，b.故A、D正确，B、C 不正确3已知向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，则实数k的值为()A. B.C. D.解析：选D由已知得kab(k，k，0)(1，
2、0，2)(k1，k，2)，2ab(3，2，2)由kab与2ab互相垂直，得(k1，k，2)(3，2，2)0，即5k70，解得k，故选D.4已知a(1，2，y)，b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1 Bx，y4Cx2，y Dx1，y1解析：选B由题意知，a2b(2x1，4，4y)，2ab(2x，3，2y2)(a2b)(2ab)，存在实数，使a2b(2ab)，解得5在空间直角坐标系中，已知点A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC一定是()A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C(3，4，8)，(5，1，7)，(2，3，1)，
3、|，|，|，|2|2|2，ABC一定为直角三角形6已知M1(2，5，3)，M2(3，2，5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足4，则向量的坐标为_解析：设M(x，y，z)，则(1，7，2)，(3x，2y，5z)又4，答案：7已知a(1t，1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值是_解析：由已知，得ba(2，t，t)(1t，1t，t)(1t，2t1，0)|ba| .当t时，|ba|取最小值，最小值为.答案：8已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(3，5，)若a，b，c三向量共面，则实数_解析：由题意可知存在实数m，n满足cmanb，所以可得方程组解得答案：19.如图所示
4、，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，平面PBC底面ABCD.用向量方法证明：(1)PABD；(2)平面PAD平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，连接PO，如图所示，PBC为等边三角形，POBC.平面PBC底面ABCD，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设CD1，则ABBC2，PO，A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，)，(2，1，0)，(1，2，)(2)1(1
5、)(2)0()0，PABD.(2)取PA的中点M，连接DM，如图所示，则M.，(1，0，)，100()0，即DMPB.10(2)()0，即DMPA.又PAPBP，PA平面PAB，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.10.在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60，在四边形ABCD中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)求BP的长；(2)求直线PA与BC所成角的余弦值解：(1)如图，建立空间直角坐标系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2，A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由PD平面ABCD，得PAD
6、为PA与平面ABCD所成的角，PAD60.在RtPAD中，由AD2，得PD2.P(0，0，2)BP4.(2)由(1)得，(2，0，2)，(2，3，0)，cos，直线PA与BC所成角的余弦值为.B级综合运用11若a(x，2，2)，b(2，3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是_解析：ab2x23252x4，设a，b的夹角为，因为为钝角，所以cos 0，|b|0，所以ab0，即2x40，所以x2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(，2)答案：(，2)12ABC的顶点分别为A(1，1，2)，B(5，6，2)，C(1，3，1)，则AC边上的中线BM的长为_；高BD的长为_解析：由题设易知M
7、，所以.故|，设，又(0，4，3)，则(0，4，3)又(4，5，0)，(4，45，3)，由0，得04(45)90，解得，|5.答案：513.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为_，线段MN的长度为_解析：以A为原点，分别以，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，M，O，N.0，异面直线ON与AM所成角的大小为90.又，MN|.答案：9014已知空间三点A(1，2，3)，B(2，1，5)，C(3，2，5)(1)求ABC的面积；(2)求AB
8、C中AB边上的高解：(1)由已知，得(1，3，2)，(2，0，8)，|，|2，12(3)02(8)14.cos，sin， .SABC|sin，23.(2)设AB边上的高为CD，则|3，即ABC中AB边上的高为3.C级拓展探究15.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.设ABAP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由解：PA平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，PAAB，PAAD.又ABAD，AP，AB，AD两两垂直以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos 451，CECDsin 451.设ABAPt，则P(0，0，t)由ABAD4，得AD4t，E(0，3t，0)，C(1，3t，0)，D(0，4t，0)假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m，0)(其中0m4t)，则(1，3tm，0)，(0，4tm，0)，(0，m，t)由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m.由|，得(4tm)2m2t2.由消去t，化简得m23m40.由于方程没有实数根，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等