1、6 应用一元二次方程 第1课时 1.了解几种特殊图形的面积公式.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题.1.列方程解应用题有哪些步骤?对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握.前面，我们学习了一元二次方程的解法，现在，我们要学习利用一元二次方程解决实际问题面积问题.2.直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？3.正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？4.梯形的面积公式是什么？5.菱形的面积公式是什么？6.平行四边形的面积公式是什么？7.圆的面积公式是什么？【例1】要设计一本书的封面,封面长27,宽21,正中央是一个与整
2、个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?27【解析】这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7.【例题】解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm 依题意得 21274379 xx解得 2331 x3 3279279x5427 321.8(cm)224 3 3217217x4221 321.4(cm)224不合题意，舍去）(2332x左、右边衬的宽度为:故上、下边衬的宽度为:212743)1421)(1827(xx解方程得 4336 x(以下请自己完成)方程的哪个根合乎实际
3、意义?为什么?解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm,依题意得【例2】学校为了美化校园环境，在一块长40m、宽20m的长方形空地上计划新建一块长9m、宽7m的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1m2，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2m2？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.【例题】【解析】(1)方案1：长为 m，宽为7m;719方案2：长为16m，宽为4m;方案3：长=宽=8m;注：本题方案有无数种（2）在长方形花
4、圃周长不变的情况下，长方形花圃面 积不能增加2m2.由题意得长方形长与宽的和为16m.设长方形花圃的长为xm，则宽为（16-x）m.x(16-x)=63+2，x2-16x+65=0，22b4ac(16)4 1 6540 此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2m2 1用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.【解析】设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,)220(x30)220(xx即 x2-10 x+30=0 这里a=1,b=10,c=30,0203014)10(422acb此方程无解.用20cm长的铁丝不能折成面积为30c
5、m2的矩形.【跟踪训练】2.某校为了美化校园,准备在一块长32m,宽20m的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540m2.(1)(2)【解析】（1)如图，设道路的宽为xm，则(32-2x)(20-2x)=540化简得，025262xx0)1)(25(xx1,2521xx其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路的宽为1m.(1)则横向的路面面积为 （2）解析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540m2.解法一
6、、如图，设道路的宽为xm，32x m2,纵向的路面面积为 20 x m2.注意：这两个面积的重叠部分是x2,所列的方程是不是 3220(3220)540 xx？图中的道路面积不是 3220 xxm2.(2)而是从其中减去重叠部分，即应是 m2 所以正确的方程是：232203220540 xxx化简得，2521000,xx其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：草坪面积为3220-100=540（m2）答：所求道路的宽为2m.122,50 xx)2032(2xxx223222022100()m解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两
7、条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）横向路面:如图，设路宽为xm，32xm2纵向路面面积为:20 xm2草坪矩形的长（横向）为:草坪矩形的宽（纵向:）为：相等关系是：草坪长草坪宽=540m2(20-x)m（32-x)m 即 3220540.xx化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法一相同.(2)1.如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570m2,问:道路宽为多少米?【解析】设道路宽为xm，(322x)
8、(20 x)570化简得，035362xx0)1)(35(xx1,3521xx其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.答:道路的宽为1m.则 2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.A B C D 化简得，01233522xx0)412)(3(xx1241x3,x2(舍去)答:小路的宽为3 m.【解析】设小路宽为x m，则 2015246)215)(220(xx3.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2，（1）
9、求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为xm，则BC为(24-3x)m，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由(1)可知，-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 024-3x10得 x8 x2=3不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5m 1431.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应 用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答.2.这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所 得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否都符合实际问 题的要求.通过本课时的学习，需要我们掌握：时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”.用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍.雷巴柯夫