1、84空间点、直线、平面之间的位置关系84.1平面新课程标准解读核心素养1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念数学抽象，直观想象2.了解基本事实和确定平面的推论逻辑推理在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整问题你知道如此做的原理吗？知识点一平面的画法与表示1平面的画法画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向图示2平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面，平面，平面；(2)用代表平
2、面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD；(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)书桌面是平面()(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚()(3)一个平面的面积是16 cm2.()(4)所有的平面都是无限延展的()答案：(1)(2)(3)(4)2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MNB平面MPC平面D平面MNPQ解析：选A表示平面不能用一条边的两个端点表示，但可以表示为平面MP. 故选A.知识点二点、直线、平面之间的基本关系的符号表示文字语言符号语言点A在
3、直线l上Al点A在直线l外Al点A在平面内A点A在平面外A直线l在平面内l直线l在平面外l平面，相交于ll如图，点A_平面ABC；点A_平面BCD；BD_平面ABD；平面ABC平面BCD_答案：BC知识点三平面的基本事实及推论1与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，且Pl，且Pl2基本事实1、2的三个推论推论内容图形作用推
4、论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面1如何理解基本事实1中的“有且只有一个”？提示：这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会经常出现2两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？提示：不能要么没有公共点，要么有无数个公共点3如果两个不重合
5、的平面有无数个公共点，那么这些公共点有什么特点？提示：这些公共点落在同一条直线上立体几何三种语言的相互转化例1用符号表示下列语句，并画出图形：(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上解(1)用符号表示：l，aA，aB，如图(2)用符号表示：A，B，aC，C/AB，如图三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用
6、“”或“”提醒根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别 跟踪训练根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系：(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.解：(1)点P直线AB；(2)点C 直线AB；(3)点M平面AC；(4)点A1平面AC；(5)直线AB直线BC点B；(6)直线AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直线AB.点、线共面问题例2如图，已知直线abc，laA，lbB，lcC.求证：直线a，b，c和l共面证明法一(辅助平面法)：因为ab
7、，所以a，b确定一个平面.因为Aa，Bb，所以A，B.又Al，Bl，所以l.因为Cl，所以C，所以直线a与点C同在平面内因为ac，所以直线a，c确定一个平面.因为Cc，c，所以C，即直线a与点C同在平面内由推论1，可得平面和平面重合，则c.所以a，b，c，l共面法二(纳入平面法)：因为ab，所以a，b确定一个平面.因为Aa，Bb，所以A，B.又Al，Bl，所以l.则a，b，l都在平面内，即b在a，l确定的平面内同理可证c在a，l确定的平面内因为过a与l只能确定一个平面，所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面证明点、线共面的方法证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方
8、法有：(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面，再证明其余点、线确定平面，最后证明平面，重合；(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内 跟踪训练已知Al，Bl，Cl，Dl，如图求证：直线AD，BD，CD共面证明：因为直线l与点D可以确定平面，所以只需证明AD，BD，CD都在平面内因为Dl，所以l与D可以确定平面.因为Al，所以A.又D，所以AD.同理，BD，CD，所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面.点共线、线共点问题例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点求证：CE，D1F，DA三线交于一点证明如图，连接EF，D1
9、C，A1B，因为E为AB的中点，F为AA1的中点，所以EF綉A1B.又因为A1B綉D1C，所以EF綉D1C，所以E，F，D1，C四点共面，可设D1FCEP.又D1F平面A1D1DA，CE平面ABCD，所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点又因为平面A1D1DA平面ABCDDA，所以据基本事实3可得PDA，即CE，D1F，DA三线交于一点母题探究(变条件、变设问)若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1FCEM”，求证：点D，A，M三点共线证明：因为D1FCEM，且D1F平面A1D1DA，所以M平面A1D1DA，同理M平面BCDA，
10、从而M在两个平面的交线上，因为平面A1D1DA平面BCDAAD，所以MAD成立所以点D，A，M三点共线1证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上2证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点；(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点 跟踪训练1如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明：若EF，GH交于一
11、点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF平面ABD，GH平面CBD，所以P平面ABD，且P平面CBD，又因为平面ABD平面CBDBD，由基本事实3可得PBD.2.已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图求证：P，Q，R三点共线证明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.又Q平面APR，Q，QPR.P，Q，R三点共线.平面
12、的交线问题例4如图所示正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1上一点试说明D1，A，E 3点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线解因为A面D1AE，A面ABCD，所以面D1AE面ABCD，即面D1AE与面ABCD相交延长D1E与DC，设它们相交于F，连接AF，如图所示，则F直线D1E，直线D1E面D1AE，F直线DC，直线DC面ABCD，则F面D1AE面ABCD，从而AF即为面D1AE与面ABCD的交线找两个平面交线的突破口基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线因此找两个平面的交线的突破
13、口就是找这两个平面的两个公共点 跟踪训练如图，E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线解：如图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为MD1F，MDA，D1F平面BED1F，DA平面ABCD，所以M平面BED1F平面ABCD，又B平面BED1F平面ABCD，连接MB，则平面BED1F平面ABCDMB.故直线MB即为所求两平面的交线1经过空间任意三点作平面()A只有一个B可作两个C可作无数多个 D只有一个或有无数多个解析：选D当三点在一条直线上时，过这三点能作无数个
14、平面；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个故选D.2如果A点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，可以表示为()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，B解析：选BA点在直线a上，而直线a在平面内，点B在内，表示为Aa，a，B.3若平面与平面相交，点A，B既在平面内又在平面内，则点A，B必在_解析：设l，因为A，B且A，B，所以A，Bl.答案：与的交线上4不重合的三条直线，若相交于一点，最多能确定_个平面解析：三条直线相交于一点，最多可确定3个平面，如图所示，直线a，b，c相交于点A，直线a，b确定平面，直线b，c确定平面，直线a，c确定平面，共3个平面答案：35若l，A，B，C，试画出平面ABC与平面，的交线解：若l，A，B，AB是平面ABC与的交线，延长BA交l于D，则D平面ABC，C，CD是平面ABC与的交线，则对应的图示如图