1、83简单几何体的表面积与体积83.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积新课程标准解读核心素养1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式直观想象2.能用公式解决简单的实际问题数学运算金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石如图就是一块正八面体的钻石问题如果已知该钻石的棱长，你能求出它的表面积吗？知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图
2、的面积都相等吗？提示：都相等正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为_，表面积为_解析：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3126；又S底面面积1，所以它的表面积为6.答案：66知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱：棱柱的底面面积为S，高为h，则VSh；棱锥：棱锥的底面面积为S，高为h，则VSh；棱台：棱台的上、下底面面积分别为S，S，高为h，则V(SS)h.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)棱锥的体积等于底面面积与高之积()(2)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差()答案：(1)(2)2若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长
3、方体的体积为()A27 cm3B60 cm3C64 cm3 D125 cm3解析：选BV长方体34560(cm3)3已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为()A2 B4C6 D12解析：选B正四棱锥的底面积为224，则体积为434.棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积例1如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO3PO1.当PO12 m，PA14 m时，求帐篷的表面积解如图，连接O1A1，因为PO12 m，PA14 m，所以A1B1A1O12(m)，取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQA1B1.所以A1
4、QO1A1，PQ(m)，设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，所以S16A1B1PQ6(m2)，S26A1B1OO148(m2)，所以该帐篷的表面积为S1S2(648)(m2)母题探究(变设问)若把本例条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？解：若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积底面是边长为2的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6(2)218.故容器的表面积为64818(666)(m2)求解此类问题时，首先要注意题目要求侧面积还是表面积，其次观察几何体形状，是已知的棱柱、棱锥、棱台，还是由这些几何体形成的组合体，
5、再利用公式准确计算相关的面积，从而求解 跟踪训练已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积解：如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，过B1作B1FBC，垂足为F，在RtB1FB中，BF(84)2，B1B8，故B1F 2，所以S梯形BB1C1C(84)212，故四棱台的侧面积S侧41248，所以S表4844888048.棱柱、棱锥、棱台的体积例2(链接教科书第115页例2)(1)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_；第(1)题图第(2)题图(2)如图，某几何体下面部分为正方
6、体ABCDABCD， 上面部分为正四棱锥S ABCD，若几何体的高为5，棱AB2，则该几何体的体积为_解析(1)VA DED1VEDD1A111.(2)V正方体238，VSABCD22(52)4.VV正方体VS ABCD12.答案(1)(2)12求几何体体积的常用方法 跟踪训练1一个正四棱锥的底面边长为3 cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为_cm3，表面积为_cm2.解析：如图，正四棱锥PABCD的底面边长为3 cm，S正方形ABCD18 cm2.连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO底面ABCD，OCAC33(cm)，又棱长PC5 cm，OP 4(cm)，VPABCD18424(cm3)
7、取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在RtPBE中，PE(cm)S侧436(cm2)，S表(186)(cm2)答案：241862.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一个棱锥CA1DD1，求棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比解：设矩形ADD1A1的面积为S，ABh，所以VABCDA1B1C1D1VADD1A1BCC1B1Sh.而棱锥C A1DD1的底面积为S，高为h，故三棱锥C A1DD1的体积为VCA1DD1ShSh，余下部分体积为ShShSh.所以棱锥C A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为15.1如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1 m2，互
8、相平行的两个侧面的距离为1 m，则这个六棱柱的体积为()A. m3B. m3C1 m3 D. m3解析：选B设正六棱柱的底面边长为a m，高为h m，则2ah1，a1，解得a，h.所以六棱柱的体积为V6(m3)故选B.2过长方体一个顶点的三条棱长的比是123，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是()A6 B12C24 D48解析：选D设过长方体一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，由体对角线长为2，则x2(2x)2(3x)2(2)2，解得x2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体24648.3正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为()A3a2 B2a2C.a2 D4a2解析：选CS4aaa2.4.一个正方体木块ABCDA1B1C1D1的体积为512 cm3，如图，M为棱CB的中点，N为棱BB1的中点，过A，M，N三点的平面切下一个三棱锥BAMN，则三棱锥BAMN的表面积是_cm2.解析：如图，连接MC1和NC1.易知AMNC1MN，ABMC1CM，ABNC1B1N，MNBMNB.因此，三棱锥BAMN的表面积等于正方形BB1C1C的面积，即()264(cm2)答案：646