1、第二课时直线与圆的位置关系的应用(习题课)直线与圆的方程的实际应用问题例1某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？解建立如图所示的直角坐标系，使圆心C在y轴上依题意，有A(10，0)，B(10，0)，P(0，4)，D(5，0)，E(5，0)设这座圆拱桥的拱圆的方程是(xa)2(yb)2r2，于是有解此方程组，得a0，b10.5，r14.5，所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2(y10.5)214.52(0y4)把点D的横坐标x5代入上式，得y3.1(m)由于船在水面以上高3 m，30)，将A(x0，3)代入圆的方程，得x0，当水面下降
2、1 m 后，水面宽为2x02 m.答案：22一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西方向70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北方向40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它在返回港口的途中是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系(如图所示)，则受台风影响的圆形区域的边界的方程为x2y2302，港口所对应的点的坐标为(0，40)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(70，0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y2800，圆心O(0，0)到l：4x7y2800的距离d，因为30，所以直线l与
3、圆相离故轮船返回港口的途中不会受到台风的影响.直线与圆的方程在几何问题中的应用例3在ABO中，|OB|3，|OA|4，|AB|5，P是ABO的内切圆上的一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值解以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)设AOB的内切圆的半径为r，点P的坐标为(x，y)，则2r|AB|OA|OB|，r1.内切圆的方程为(x1)2(y1)21，即x2y22y2x1.又|PA|2|PB|2|PO|2(x4)2y2x2(y3)2x2y23x23y28x6y25，将代入
4、，得|PA|2|PB|2|PO|23(2x1)8x252x22.P(x，y)是内切圆上的点，0x2，|PA|2|PB|2|PO|2的最大值为22，最小值为18.又三个圆的面积之和为2(|PA|2|PB|2|PO|2)，以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为，最小值为.用坐标法解决几何问题的步骤(1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素(点、直线、圆等)，将平面几何问题转化为代数问题；(2)通过代数运算，解决代数问题；(3)将代数问题的运算结果“翻译”成几何结论 跟踪训练如图，AB为圆的定直径，CD为动直径(D在下方)，过点D作AB的垂线DE，垂足
5、为E，延长线段ED到点P，并使|PD|AB|.求证：直线CP必过定点解：以线段AB所在的直线为x轴，以AB的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，设圆的方程为x2y2r2(r为常数，r0)令C(x0，y0)，则D(x0，y0)，所以P(x0，y02r)，所以直线CP的方程为yy0(xx0)，即yxr.由直线的点斜式方程，知直线CP过定点(0，r)故直线CP必过定点1一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A2.4米B3.5米C3.6米 D2.0米解析：选B以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图
6、所示的平面直角坐标系易知半圆所在的圆的方程为x2y23.62(y0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x0.8或x0.8，代入x2y23.62，得y3.5(负值舍去)2设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线xy20的距离减去圆的半径2，即22.答案：23已知：四边形ABCD，AB2CD2BC2AD2.求证：ACBD.证明：如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，AB2CD2BC2AD2，a2b2(xc)2y2b2c2(xa)2y2，(ac)x0，ac即ac0，x0，D在y轴上，ACBD.