1、第二讲圆锥曲线的方程与性质1(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解析：选D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D2(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()Ay21 B1C1 D1解析：选B设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.
2、又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图不妨设A(0，b)，由F2(1,0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B3(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A双曲线1的渐近线方程为bxay0.又离心率，a2b23a2.ba(a0，b0)渐近线方程为axay0，即yx.故选A4(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A2sin 40 B2cos 40C D解析：选D由题意可得tan 130，所以e
3、.故选D5(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 BC D解析：选A依题意，双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2，故选A6(2018全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A B3 C2 D4解析：选B由已知得双曲线的两条渐近线方程为y x.设两渐近线夹角为2，则有tan ，所以30.所以M
4、ON260.又OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MNON，如图所示在RtONF中，|OF|2，则|ON|.则在RtOMN中，|MN|ON|tan 2tan 603.故选B 明 考 情 1圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容以选择题、填空题的形式考查，常出现在第411题或1516题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等2圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题第20题的位置，一般难度较大考点一圆锥曲线的定义及标准方程|析典例|【例】(1)(2019浉河区校级月考)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若AF1F2的面积为，且
5、F1AF24AF1F2，则椭圆方程为()Ay21 B1Cy21 D1(2)(2019宝鸡二模)已知抛物线x216y的焦点为F，双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|PF1|的最小值为()A5 B7C9 D11解析(1)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若AF1F2的面积为，可得bc，且F1AF24AF1F2，AF1F230，解得b1，c，所以a2，则椭圆方程为y21.故选C(2)如图，由双曲线1，得a24，b25，c2a2b29，则c3，则F2(3,0)，|PF1|PF2|4，|PF1|4|PF2|，则|PF|PF1|PF|PF2|4，
6、连接FF2交双曲线右支于P，则此时|PF|PF2|最小等于|FF2|，F的坐标为(0,4)，F2(3,0)，|FF2|5，|PF|PF1|的最小值为549.故选C答案(1)C(2)C| 规 律 方 法 |1凡涉及圆锥曲线上的点到焦点距离，一般运用定义转化处理2求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程|练题点|1(一题多解)(2019辽宁五校联考)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是()A1 B1Cx21 D1解析：选C解
7、法一：(定义法)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为1(a0，b0)，则由题意可得解得所以双曲线的标准方程为x21；若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为1(a0，b0)，则由题意可得该方程组无解综上，所求双曲线的标准方程为x21.解法二：(待定系数法)设双曲线的方程为1(mn0)，则由题意可得解得所以所求双曲线的标准方程为x21.解法三：(待定系数法)因为双曲线的渐近线方程为yx，所以可设双曲线的方程为3x2y2(0)，则由双曲线过点(2,3)，可得322323，故双曲线的方程为3x2y23，其标准方程为x21.2已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若A(3,2)，则|PA
8、|PF|的最小值为_，此时点P的坐标为_解析：将x3代入抛物线方程y22x，得y.因为2，所以点A在抛物线内部，如图所示过点P作PQl于点Q，则|PA|PF|PA|PQ|，当PAl，即A，P，Q三点共线时，|PA|PQ|最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时点P的纵坐标为2，代入y22x，得x2，所以所求点P的坐标为(2,2)答案：(2,2)考点二圆锥曲线的几何性质|析典例|【例】(1)(2019合肥二模)已知椭圆1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2BAP，则该椭圆离心率是()A BC D(2)(20
9、19湖南四校联考)已知A，B，P是双曲线1(a0，b0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB3，则该双曲线的离心率为()A BC2 D3(3)(2019常熟模拟)已知双曲线C1：1与圆C2：x2y2b2(其中a0，b0)，若在C1上存在点P，使得由点P向C2所作的两条切线互相垂直，则双曲线C1的离心率的取值范围是_解析(1)由条件知以线段F1A为直径的圆的方程为2y22，化为x2(ac)xy2ac0.直线F1B的方程为bxcybc0，联立解得P.kAP，kF2B.F2BAP，把b2c2a2代入可化为e2，又e(0,1)，解得e.故选D(2)由双曲线的对
10、称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)，则1，1，又kPA，kPB，所以kPAkPB3，所以离心率e 2.(3)由题意，根据圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以|OP|b；因为|OP|ba，所以，所以e；所以双曲线的离心率e的取值范围是.答案(1)D(2)C(3)| 规 律 方 法 |1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得
11、或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程|练题点|1如图，F1、F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，A，B是双曲线C上关于坐标原点O对称的两点(点A在第一象限)，直线BF1与双曲线C的另一个交点为M，且AF1BF1，|MF1|AF1|，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选A连接MF2，BF2，AF2，设|MF1|m，|BF1|n，可得|AF1|m，AF1BF1，可得四边形AF2BF1为矩形，由双曲线的定义可得|AF2|m2a，|MF2|m2a，即nm2a，可得m2(m2a)24c2，(mm2a)2m2(m2a)2，解得m3a,9a2a24c24(a2b2)，化
12、简可得ba，C的渐近线方程为yx，即为yx.故选A2(2019烟台一模)已知圆锥曲线C1：mx2ny21(nm0)与C2：px2qy21(p0，q0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足F1MF290，若圆锥曲线C1的离心率为，则C2的离心率为()A BC D解析：选BC1：1，C2：1.设a1，a2，MF1s，MF2t(st)，由椭圆的定义可得st2a1，由双曲线的定义可得st2a2，解得sa1a2，ta1a2，由F1MF290，运用勾股定理，可得s2t24c2，即为aa2c2，由离心率的公式可得，2，e1，e，则e2.故选B3(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a
13、0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A BC2 D解析：选A设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得22a2，故，即e.故选A考点三直线与圆锥曲线的位置关系|多角探明|命题角度一弦长问题【例1】(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方
14、程；(2)若3，求|AB|.解设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0，所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.| 规 律 方 法 |求解直线被椭圆截得弦长的方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦
15、长|AB|x1x2|y1y2|(k0)(3)当弦过焦点时，可结合圆锥曲线定义求解弦长如M(x0，y0)是椭圆1(ab0)上一点，则左焦半径r1aex0，右焦半径r2aex0.命题角度二弦中点问题【例2】已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1 B1C1 D1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得得0，0.x1x22，y1y22，kAB，0，即a22b2.又c3，a218，b29.椭圆E的方程为1.答案D| 规 律 方 法 |对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在用根与系数
16、的关系时，要注意前提条件0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交|全练题点|(2019江南十校联考)已知椭圆E：1，点A，B，C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且2.(1)若点C的坐标为，求直线AB的方程；(2)求证：SABC为定值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，因为2，C，所以点D的坐标为.又D为AB中点，所以x1x21，y1y2.将点A，B的坐标分别代入椭圆方程中，可得化简可得0，所以直线AB的斜率kAB，所以直线AB的方程为x2y20.(2)证明：设A(x3，y3)，B(x4，y4)，C(m，n)，因为2，所以D.当直线AB的斜率不存在时，n0，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方因为点C在椭圆上，易得C(2,0)，A，B或C(2,0)，A，B，此时SABC33.当直线AB的斜率存在时，n0，由(1)可得kAB，所以直线AB的方程为y，因为点C在椭圆上，所以1，即3m24n212，因此直线AB的方程为yxx，即3mx4ny60，由得3x23mx34n20，所以x3x4m，x3x41，|AB|，因为点O到直线AB的距离d，所以SABC3SOAB3.综上，SABC为定值