1、13空间向量及其运算的坐标表示13.1空间直角坐标系新课程标准解读核心素养1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置数学抽象、直观想象2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示数学抽象、直观想象我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置问题怎样才能刻画空间中点的位置呢？知识点一空间直角坐标系1空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以
2、它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz；(2)相关概念：叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分2右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系画空间直角坐标系Oxyz时，一般使xOy135(或45)，yOz90，所以三个坐标平面把空间分成八个部分 知识点二空间向量的坐标1空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，
3、对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使xiyjzk.在单位正交基底i，j，k下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中叫做点A的横坐标，叫做点A的纵坐标，叫做点A的竖坐标2空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a(x，y，z)1空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？提示：x轴上的点
4、的纵坐标、竖坐标都为0，即(x，0，0)y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y，0)z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0，0，z)2空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？提示：点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫做Oxy平面()(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式()(3)空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式()(4)空间直角坐标系中，点(1，2)关于Oyz平面的对称点为(1，2)()答案：(1)(2)(3
5、)(4)2设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，则向量a3i2jk，b2i4j2k的坐标分别是_答案：(3，2，1)，(2，4，2)3在空间坐标系中，点A(2，1，2)在坐标平面Oxy内的投影坐标为_答案：(2，1，0)求空间点的坐标例1(1)点P(2，1，3)关于x轴的对称点的坐标是_，关于坐标平面Oxy的对称点的坐标是_；(2)如图所示，四棱锥DOABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD2，OA4，OC6，M是BD的中点，求点M的坐标(1)解析在空间直角坐标系中，点P(2，1，3)关于x轴的对称点的横坐标不变，纵坐标与竖坐标都变为原来的相反数，即(2，1，3)；点P(2，1，3)关
6、于坐标平面Oxy的对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即(2，1，3)答案(2，1，3)(2，1，3)(2)解法一：点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)法二：()()，所以点M的坐标为(2，3，1)1求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(x，y，z)，关于平面Oyz的对称点是(x，y，z)2求空间一点P的坐标方法有两个：(1)利用点在坐标轴上的投影求解；(2)利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标 跟踪训练如图所示的空
7、间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB2，PA4，则PD的中点M的坐标为_解析：由题意知PO，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为，0，所以点M的坐标为.答案：求空间向量的坐标例2已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标解因为PAADAB1，所以可设i，j，k.因为()()jk，所以.用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，AO4，BO2，AA14，D为A1B1的中点，以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标解
8、：因为()，所以(2，1，4)因为()，所以(4，2，4).向量坐标的广义理解例3定义向量p在基底a，b，c下的坐标如下：若pxaybzc，则(x，y，z)叫做p在基底a，b，c下的坐标已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2，1，1)，则p在基底ab，ab，c下的坐标为_，在基底2a，b，c下的坐标为_解析由条件知p2abc.设p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，a，b，c不共面，即p在基底ab，ab，c下的坐标为，同理可求得p在基底2a，b，c下的坐标为(1，1，1)答案(1，1，1)1同一向量在不同基底下对应的坐标不同，当
9、空间一个基底确定之后，该向量的坐标是唯一确定的，在没有特殊说明情况下，求某向量的坐标就认为它的基底是单位正交基i，j，k2解答本例问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解其实质仍然是空间向量基本定理的应用 跟踪训练空间四面体OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC的中点，则在基底a，b，c下的坐标为_解析：点M在OA上，OM2MA，OMOA，()abc.答案：1点P(3，0，2)在空间直角坐标系中的位置是在()Ay轴上BOxy面上COzx面上 DOyz面上解析：选C因为P点的y坐标为0，其他坐标不为0，故点P(3，0，2)在Ozx面上2在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)到平面Oyz的距离是()A1 B2C3 D.答案：A3点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为_；点P关于z轴的对称点P2的坐标为_解析：点P(1，1，1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1，1，1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1，1)答案：(1，1，1)(1，1，1)4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中点，AB1，则向量的坐标为_解析：设，为所建立空间直角坐标系的一个单位正交基底，.答案：