1、课时作业30平面向量数量积的应用一、选择题1(2020株洲模拟)在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是(C)A等边三角形 B等腰三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是(D)A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析：(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6，即点P的轨迹是抛物线3在ABCD中，|8，|6，N为DC的中点，2，则等于(C)A48 B36C24 D12解析：()()22826224，故选C4
2、已知向量m(1，cos)，n(sin，2)，且mn，则sin26cos2的值为(B)A B2C2 D2解析：由题意可得mnsin2cos0，则tan2，所以sin26cos22.故选B5已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的(C)A内心 B外心C重心 D垂心解析：由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心6(2020安徽江南十校联考)已知ABC中，AB6，AC3，N是边BC上的点，且2，O为ABC的外心，则的值为(D)A8 B10C
3、18 D9解析：由于2，则，取AB的中点为E，连接OE，由于O为ABC的外心，则，26218，同理可得232，所以18639，故选D7(2020广东广雅中学等四校联考)已知两个单位向量a，b的夹角为120，kR，则|akb|的最小值为(B)A BC1 D解析：两个单位向量a，b的夹角为120，|a|b|1，ab，|akb|，kR，当k时，|akb|取得最小值，故选B8(2020南昌测试)在梯形ABCD中，ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，动点P和Q分别在线段BC和CD上，且，则的最大值为(D)A2 BC D解析：因为ABCD，CD1，ABBC2，BCD120，所以四边形ABCD是直角
4、梯形，且CM，BCM30，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为，动点P和Q分别在线段BC和CD上，则，B(2,0)，P(2，)，Q，所以(2，)54.令f()54且，由对勾函数性质可知，当1时可取得最大值，则f()maxf(1)54.二、填空题9已知O为ABC内一点，且20，则AOC与ABC的面积之比是12.解析：如图所示，取AC的中点D，2，O为BD的中点，面积之比为高之比即.10已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是.解析：由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos0，cos
5、.又0，.11如图，A是半径为5的圆C上的一个定点，单位向量在A点处与圆C相切，点P是圆C上的一个动点，且点P与点A不重合，则的取值范围是5,5解析：如图所示，以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设点P(x，y)，B(1,0)，A(0,0)，则(1,0)，(x，y)，所以(x，y)(1,0)x.因为点P在圆x2(y5)225上，所以5x5，即55.三、解答题12已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，则(a,3)，(xa，y)，
6、(x，by)，由0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)，b0，y0，把a代入到中，得3y0，整理得yx2(x0)动点M的轨迹方程为yx2(x0)13在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m，n(c，b2a)，且mn0.(1)求角C的大小；(2)若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积解：(1)由题意知m(cosB，cosC)，n(c，b2a)，mn0，则ccosB(b2a)cosC0.在ABC中，由正弦定理得sinCcosB(sinB2sinA)cosC0，整理得sinCcosBsinBcosC2sinAcosC0，即sin(BC)2sinAco
7、sC故sinA2sinAcosC，又sinA0，cosC，C(0，)，C.(2)由知，2，两边平方得4|2b2a22bacosACBb2a2ba28.又c2a2b22abcosACB，a2b2ab12.由得ab8，SABCabsinACB2.14(2020福建漳州月考)已知非零向量a，b，满足|a|2|b|，若函数f(x)x3|a|x2abx1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为(B)A BC D解析：由题意可知，f(x)x2|a|xab，f(x)在R上存在极值，f(x)0在R上有两个不等实数根，|a|24ab0.设a与b的夹角为，则有|a|24|a|b|cos0，|a|4|b|cos，又知|a|2|b|，cos，又知0，即a与b夹角的取值范围为，故选B15已知|1，点C在线段AB上，且|的最小值为，求|t|(tR)的最小值解：|1，点O在线段AB的垂直平分线上点C在线段AB上，且|的最小值为，当C是AB的中点时|最小，此时|，与的夹角为60，的夹角为120.又|t|22t222t1t22t11cos120t2t12，当且仅当t时等号成立|t|2的最小值为，|t|的最小值为.