1、课时作业16不等式恒成立与有解问题一、选择题1(2020福州模拟)已知函数f(x)x32ex2mxlnx，若f(x)x恒成立，则实数m的取值范围是(A)A(e21，) B(0，e21C(，e21 D(，e2解析：解法1：由f(x)x恒成立，得x32ex2mxlnxx恒成立，得x32ex2(m1)xlnx0恒成立，因为x0，所以两边同时除以x，得x22ex(m1)0，则m1x22ex恒成立令g(x)x22ex，则g(x)2x2e，当0x0,2e2x0，所以g(x)0；当xe时，0,2e2x0，所以g(x)e2，所以me21，故选A.解法2：由f(x)x恒成立，转化为m1x22ex恒成立，则m1(
2、x22ex)max，m的取值可以趋于，观察4个选项，发现只有选项A符合，故选A.2(2020江西五校联考)已知函数f(x)alnxbx2，a，bR.若不等式f(x)x对所有的b(，0，x(e，e2都成立，则a的取值范围是(B)Ae，) B，)C，e2) De2，)解析：f(x)x对所有的b(，0，x(e，e2都成立，即alnxbx2x，alnxxbx2对所有的b(，0，x(e，e2都成立，因为b(，0，x(e，e2，所以bx2的最大值为0，所以alnxx0在x(e，e2时恒成立，所以a在x(e，e2时恒成立，令g(x)，x(e，e2，则g(x)0恒成立，所以g(x)单调递增，所以当xe2时，g
3、(x)取得最大值，所以a，故选B.二、解答题3已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数x，使得f(x)x至少有一个实数x使之成立，即amin，设g(x)x(1x2)，则g(x)1，因为1x2，所以g(x)，即a的取值范围是.4(2020安徽江南十校联考)已知函数f(x)xlnx(x0)(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值解：(1)由f(x)xlnx(x0)，得f(x)1lnx，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，则g(x)，由g(x)0x
4、1，由g(x)00x0，g(x)0.当a1时，f(x)0，ag(x)0，不满足不等式f(x)ag(x)；当0a1)，令(x)0，得x，当x变化时，(x)，(x)的变化情况如下表：x(x)0(x)极大值(x)max(1)0，不满足不等式综上所述，实数a的取值范围为1，)6已知函数f(x)ex1xax2.(1)当a0时，求证：f(x)0；(2)当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)证明：当a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)f(x)ex12a
5、x，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，)上为增函数，f(x)f(0)0，当a时满足条件当2a1，即a时，令h(x)0，解得xln(2a)，在0，ln(2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln(2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln(2a)上为减函数，f(x)x2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，求实数m的取值范围解：(1)F(x)f(x)g(x)xexx2x，F(x)(x1)(ex1)，令F(x)0，解得x1，令F(x)0，解得xx2，有mf(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立，mf(x1)g(x1)mf(x2)g(x2)恒成立令h(x)mf(x)g(x)mxexx2x，x1，)，即只需h(x)在1，)上单调递增即可故h(x)(x1)(mex1)0在1，)上恒成立，故m，而e，故me，即实数m的取值范围是e，)
