1、广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（文）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的【题文】1. 从已编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A5，10，15，20，25 B.3
2、，13，23，33，43C1，2，3，4，5 D.2，4，6，16，32【知识点】系统抽样方法I1 【答案解析】B 解析：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B【思路点拨】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的【题文】2如图，设全集为U=R，则图中阴影部分表示的集合为A B C D【知识点】Venn图表达集合的关系及运算A1 【答案解析】B 解析：=x|0x2，B=x|1x0=x
3、|x1，则RB=x|x1由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（RB），A（RB）=x|1x2，故选B【思路点拨】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A（RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可【题文】3.已知复数在复平面上对应的点分别为A.B.C.D.【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算L4 【答案解析】A 解析：由复数的几何意义可知z1=1+2i，z2=1+3i，故选A【思路点拨】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【题文】第4题图4如图是2013年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的众数和中位数分
4、别为A， B，C， D，【知识点】众数、中位数、平均数；茎叶图I2 【答案解析】A 解析：去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，众数是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，中位数是85，故选A【思路点拨】按照要求调整数据以后，这组数据是84，85，86，84，87，在这组数据中出现的次数最多的是84，把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85，得到众数和中位数【题文】5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面
5、，那么这个正方体的前面是A.定B.有C.收D.获【知识点】棱柱的结构特征G7 【答案解析】B 解析：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”故选B【思路点拨】利用正方体及其表面展开图的特点以及题意解题，把“努”在正方体的后面，然后把平面展开图折成正方体，然后看“努”相对面【题文】6.已知为等差数列，其前n项和为，若，则公差d等于A.1B.C.2D.3 【知识点】等差数列的前n项和D2 【答案解析】C 解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a3=6，S3=12，得：解得：a1=2，d=2故选C【思路点拨】
6、设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d【题文】7.在中，若，则的形状是A.正三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角形 【知识点】三角形的形状判断C8 【答案解析】B 解析：sinAsinAcosC=cosAsinC，sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinBA=B（A+B=舍去），是等腰三角形,故选B【思路点拨】由sinAsinAcosC=cosAsinC，结合两角和的正弦公式即可得A，B的关系，从而可判断.【题文】8.已知直线平面，直线平面，则“”是“”的A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件
7、 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断A2 【答案解析】C 解析：直线l丄平面，lm，m丄平面，直线m平面，成立若，当直线l丄平面时，则l或l，但lm，不一定成立，“lm”是“”的充分条件故选：C【思路点拨】利用充分条件和必要条件和必要条件的定义进行判断【题文】9.已知m是两个正数2和8的等比中项,则圆锥曲线的离心率是A或BC D或【知识点】圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质D3 【答案解析】D 解析：依题意可知m=4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e=当m=4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【思路点拨】先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于
8、0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率当m0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得最后综合答案即可【题文】10.各项互不相等的有限正项数列,集合 ,集,则集合中的元素至多有( )个.ABCD【知识点】集合中元素个数的最值A1 【答案解析】A 解析：因为各项互不相等的有限正项数列an，所以不妨假设数列是单调递增的因为集合A=a1，a2，an，集合B=（ai，aj）|aiA，ajA，aiajA，1i，jn，所以j=1，i最多可取2，3，n，j=2，i最多可取3，n，j=n1，i最多可取n所以集合B中的元素至多有1+2+（n1）=，故选A【思路点拨】根据各项互
9、不相等的有限正项数列an，不妨假设数列是单调递增的，进而分类讨论，利用数列的求和公式，即可得到结论二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）【题文】11.各项都是正数的等比数列成等差数列，则的值为_.【知识点】等差数列与等比数列的综合D5 【答案解析】 解析：设an的公比为q（q0），由a3=a2+a1，得q2q1=0，解得q=则=故答案为.【思路点拨】由a2，a3，a1成等差数列可得a1、a2、a3的关系，结合等比数列的通项公式即可求出q，而由等比数列的性质可得 则=，故本题得解【题文】12. 在中，则 . 【知识点】余弦定理C8 【答案解析
10、】1或 解析：由题意可得 =ABACsinA=，故sinA=，故cosA=，当cosA= 时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC22ABACcosA=1+22=1，故BC=1当cosA= 时，由余弦定理求得BC2=AB2+AC22ABACcosA=5，故BC=，故答案为 1或【思路点拨】由三角形的面积求得sinA的值，可得cosA的值，再由余弦定理求得BC的值【题文】13.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知，若点图象上的不同两点，则类似地有_成立.【知识点】类比推理M1 【答案解析】 解析：由题意知
11、，点A、B是函数y=ax（a1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结成立；而函数y=sinx（x（0，）其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论故答案为：【思路点拨】由类比推理的规则得出结论，本题中所用类比的函数是一个变化率越越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越越小的函数，其类比方式可知（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14.（几何证明选讲选做题）如图,点A、B、C都在O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若
12、AB = 5, BC = 3,CD = 6,则线段AC的长为_。【知识点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质；弦切角N1 【答案解析】 解析：过点C的切线交AB的延长线于点D，DC是圆的切线，DBA是圆的割线，根据切割线定理得到DC2=DBDA，AB=5，CD=6，36=DB（DB+5），DB=4，由题意知D=D，BCD=ADBCDCA，AC=4.5，故答案为：4.5【思路点拨】根据圆的切线和割线，利用切割线定理得到与圆有关的比例线段，代入已知线段的长度求出DB的长，根据三角形的两个角对应相等，得到两个三角形全等，对应线段成比例，得到要求的线段的长度【题文】15.（坐标系与参数方程选做题）在
13、极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 【知识点】极坐标系N3 【答案解析】 解析：的直角坐标为：（2，2），圆=4sin的直角坐标方程为：x2+y24y=0；显然，圆心坐标（0，2），半径为：2；所以过（2，2）与圆相切的直线方程为：x=2，所以切线的极坐标方程是：故答案为：【思路点拨】求出极坐标的直角坐标，极坐标方程的直角坐标方程，然后求出切线方程，转化为极坐标方程即可三解答题：本大题共6小题，共80分，解答填写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）已知函数. （1）求的值； （2）求函数的最小正周期及单调递减区间.【知识点】二倍角的余弦；两角和与差的
14、正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性C3 C5 C6 【答案解析】(1) ； (2) ；单调递减区间为解析：（1） .4分（2）由故的定义域为 5分 8分 所以的最小正周期为9分因为函数的单调递减区间为，由10分得11分所以的单调递减区间为12分【思路点拨】(1) 把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值 (2) 由cosx0，得 xk+，（kz ）化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期再由2k+2x+2k+，xk+，kz，求得x的范围，即可求得函数的减区间【题文】17. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在某市举行的“第十届中国艺术节”， “十艺节”筹
15、委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民1565岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图I2 K2 【答案解析】(1)18,0.9； (2) 解析：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知. 1分a=1000.020100.9=18，3分 , 5分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人利用分
16、层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人 7分设第2组的2人为、，第3组的3人为、B3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，共15个基本事件， 10分其中第2组至少有1人被抽中的有，这9个基本事件11分 第2组至少有1人获得幸运奖的概率为.12分【思路点拨】（1）根据频率=该组人数总人数n，即可求得a，x的值（2）依题意第2，3，4组中回答正确的共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，得出每组分别抽取的人数，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率【题文】ABFCC1EA1B1第18题图18. (本小题满分14分)
17、如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，E、F分别是、AB的中点求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.【知识点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积G5G7 【答案解析】(1)见解析； (2) 解析：（1） 在平面内，作，O为垂足因为，所以，即O为AC的中点，所以.3分因而因为侧面底面ABC，交线为AC，所以底面ABC所以底面ABC. 6分（2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO=. 9分所以. 14分【思路点拨】（1）在平面AA1C1C内，作A1OAC，O为垂足易得四边形OCEA1为平行四边形，进而可得ECA1O，且EC=A1O再
18、由已知和面面垂直的性质可得所以A1O底面ABC，进而可得结论；（2）F到平面A1EC的距离等于B点到平面A1EC距离BO的一半，可得BO=，所以，代入数据计算可得【题文】19.（本小题满分14分）等比数列满足的前n项和为，且（1）求；（2）数列的前n项和，是否存在正整数m，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.【知识点】数列递推式；等差数列与等比数列的综合D1 D5 【答案解析】(1) ，； (2) 存在正整数，使得成等比数列。 解析：(1) ，所以公比 2分 得 , 4分所以5分 6分(2)由（）知 于是 9分假设存在正整数，使得成等比数列，则，11分整理得， 解得或
19、, 由，得， 因此，存在正整数，使得成等比数列 14分【思路点拨】 (1) 由已知令n=1，n=2可求，c1+c2，c2+c3，从而可求公比q，及c1，结合等比数列的通项公式可求cn，进而可求an，结合等差数列的求和公式可求sn; (2) 由（1）知，利用裂项可求Tn，然后结合等比数列的性质可求满足条件的m，k。【题文】20. （本小题满分14分）已知函数，（）.（1）求函数的单调区间；（2）求证：当时，对于任意，总有成立.【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质B12 【答案解析】(1) 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2)
20、见解析。解析：(1)函数的定义域为，.当时，当变化时，的变化情况如下表：00.2分 当时，当变化时，的变化情况如下表：00 .4分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.5分 （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且. 所以时，.因为，所以，令，得.7分当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因，对任意，总有.10分当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有. 14分【思路点拨】(1) 先求函数f（x）的导数，再对字母a进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递
21、增，导数小于0时函数单调递减可得答案(2) 欲证当a0时，对于任意x1，x2（0，e，总有g（x1）f（x2）成立，只须证明对于任意x1，x2（0，e，总有g（x）maxf（x）min然后分类讨论即可。【题文】21. (本小题满分14分)已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、构成以为顶点的等腰三角形.(1)证明数列是等差数列;(2)求证：对任意的，是常数，并求数列的通项公式；（3)试探究是否存在等腰直角三角形？并说明理由.【知识点】等差关系的确定；数列的函数特性；三角形的形状判断D2C8 【答案解析】(1)见解析； (2)见解析； （3) 当时，使得三角形为等腰直角
22、三角形解析：(1)依题意有,于是.所以数列是等差数列.2分（2）由题意得，点、构成以为顶点的等腰三角形，即得又， ， 则 由得，即数列都是等差数列. -5分（注：可以直接由图像得到,即 , () ） 当为正奇数时，当为正偶数时，由得，故， -7分（2）假设存在等腰直角三角形，由题意在中， -8分（注：可以直接由图像得到 , () ） 当为正奇数时，故有，即，又，即，当时，使得三角形为等腰直角三角形 -10分当为正偶数时，故有，即，又，即， 当时，使得三角形为等腰直角三角形 综上所述，当时，使得三角形为等腰直角三角形 -14分(注：也可以回答为时，使得三角形为等腰直角三角形)【思路点拨】（1）根据Bn（n，yn）在直线上可得，然后根据等差数列的定义可知数列yn是等差数列；（2）由题意得，则xn+xn+1=2n，根据递推关系又有xn+2+xn+1=2（n+1）两式作差可得xn+2xn是常数，从而x1，x3，x5，；x2，x4，x6，都是等差数列，即可求出数列xn的通项公式；（3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a讨论n的奇偶，求出|AnAn+1|，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|，从而求出a的值