1、选修4-4 坐标系与参数方程 1.极坐标与直角坐标的互化公式 设点P的直角坐标为(x,y),极坐标为(,),则(,)(x,y)(x,y)(,)x=_，y=_ 2=_，tan=_ cos sin x2+y2 y(x0)x2.常见圆的极坐标方程(1)圆心在极点,半径为r的圆:_.(2)圆心为M(a,0),半径为a的圆:_.(3)圆心为M(),半径为a的圆:_.a,2=r =2acos =2asin 3.常见直线的极坐标方程(1)直线过极点,直线的倾斜角为:_.(2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:_.(3)直线过点M(),且平行于极轴:_.a,2=(R)cos=a sin=a 4.直线、圆与椭
2、圆的参数方程 特征 普通方程 参数方程 直线过点 M0(x0,y0),倾斜角为 x=x0(=90)y-y0=tan(x-x0)(90)_ _ 圆心(a,b),半径为r(x-a)2+(y-b)2=r2 _ _ 00 xxtcosyytsin，(t为参数)xarcosybrsin，(为参数)特征 普通方程 参数方程 焦点在x轴上,长轴长为2a,短轴长为2b _ _ 2222xy1(ab0)ab xacosybsin，(为参数)【易错提醒】1.忽略条件致误:极坐标与直角坐标互化的前提条件是把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴且在两坐标系中取相同的长度单位,否则两者不能互化.2.忽略范围致误
3、:在将曲线的参数方程化为普通方程时,不仅要把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.热点考向一 极坐标与直角坐标的互化 命题解读:主要考查极坐标与直角坐标的互化公式和极坐标的几何意义,同时考查了转化与化归思想.【典例1】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程.(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.4【解题导引】(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式求
4、解.(2)利用极坐标方程和极径的几何意义求出|MN|即可.【规范解答】(1)因为x=cos,y=sin,所以C1的 极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0.(2)将=代入2-2cos-4sin+4=0,得2-3 +4=0,解得1=2 ,2=.故1-2=,即|MN|=.由于圆C2的半径为1,所以C2MC2N,所以 C2MN的面积为 .42222212【规律方法】解决极坐标系问题的策略(1)如果题目中曲线的极坐标方程比较容易化成直角坐标方程,则可以统一转化到直角坐标系中,利用直角坐标系的定理、公式解题.(2)如果题目中曲线的极坐标方程比较复杂,不方便化成直角坐标
5、方程或者极坐标系中的极角、极径关系比较明显,比如已知两个点的极坐标,求两个点间的距离,则可以直接利用已知的极角、极径结合余弦定理求距离.【变式训练】(2016乌鲁木齐二模)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆=2cos 与圆=sin 交于O,A两点.(1)求直线OA的斜率.(2)过O点作OA的垂线分别交两圆于点B,C,求|BC|.【解析】(1)由 得2cos=sin,tan=2,所以kOA=2.(2)由题意知,tan=2,则 则 代入=2cos得 2cos,sin ，2 55sincos,55 ，1B(,),2 14 52cos()2sin,25 代入=
6、sin得 所以|BC|=1+2=2C(,),2 25sin()cos25 ，4 555.55【加固训练】在极坐标系中,已知圆C经过点 ,圆 心为直线 与极轴的交点,求圆C的极坐 标方程.P(2)4，3sin()32 【解析】方法一:点 的直角坐标为(1,1),直线 的直角坐标方程为 x-y-=0,令y=0,得x=1,则圆心坐标为(1,0),故半径r=1,则所求圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,化为极坐标方程为=2cos.P(2)4，3sin()32 33方法二:因为圆C圆心为直线 与极轴的 交点,所以在 中令=0,得=1.所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点 ,所以圆C的半径
7、为PC=所以圆C经过极点.所以圆C的极坐标方程为=2cos.3sin()32 3sin()32 P(2)4，22(2)12 12cos1.4 热点考向二 参数方程与普通方程的互化和应用 命题解读:主要考查参数方程与普通方程的互化公式、参数方程的应用和直线参数方程中参数的几何意义.【典例2】(2016衡阳二模)已知曲线C的参数方程为 (t为参数).(1)求曲线C的普通方程.(2)过点P(0,1)的直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的取值范围.222t4x,t48tyt4，【解题导引】(1)根据(t2-4)2+(4t)2=(t2+4)2消去参数.(2)写出直线的参数方程,根据参数t的几
8、何意义求解.【规范解答】(1)因为 又因为x=-1,1),所以C的普通方程为x2+=1,x-1,1).2222222222yt44tt4x()()()1,4t4t4t4222t481t4t4 2y4(2)设直线l的参数方程为(为倾斜角，且 ）,代入曲线C得:(1+3cos2)t2+2sint-3=0,设两根为t1,t2,所以|PA|PB|=|t1t2|=因为 ,故|PA|PB|xtcos,y1tsin,330,)(,)4423,1 3cos330,)(,)44 3,3.4【规律方法】1.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法:将参数解出来代入另一个方程消去参数,直线的参数方程通常用
9、代入消参法.(2)三角恒等式法:利用sin2+cos2=1消去参数,圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式:22222221t1;t11(t)(t)4;tt2t1t()()1.1t1t2.参数方程表示的曲线的综合问题的求解思路(1)可以统一成普通方程处理.(2)利用参数方程中参数解决问题,如利用直线参数方程中参数的几何意义解决与距离有关的问题,利用圆锥曲线参数方程中的参数角 解决与最值相关的问题.【变式训练】(2016重庆二模)在直角坐标系xOy中,过点P()作倾斜角为 的直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程.(2
10、)求 的取值范围.3 3,2211|PM|PN|【解析】(1)(t为参数).3xtcos,23ytsin2 (2)将直线参数方程代入x2+y2=1,得t2+(cos+3sin)t+2=0,由0,有 ,因为t1t2=20,所以 31212121 2111111tt|PM|PN|t|t|ttt t|3cos3sin|3|sin()|(2,3.26 6|sin()|63【加固训练】已知直线l:(t为参数),以坐 标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线C的极坐标方程为=2cos.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点 为A,B,
11、求|MA|MB|的值.3x5t,21y3t2 3【解析】(1)=2cos等价于2=2cos,将2=x2+y2,cos=x代入,得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,.(2)将 代入,得t2+5 t+18=0,设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|MB|=|t1t2|=18.3x5t,21y3t2 3热点考向三 极坐标与参数方程的综合应用 命题解读:主要考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化,以及极坐标方程与参数方程的应用,同时考查转化与化归能力.【典例3】(2015全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,且t0),其中0 ,在以O为极点
12、,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:=2 cos.(1)求C2与C3交点的直角坐标.(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.xtcos,ytsin,3【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题:把曲线C1的方程化为极坐标方程,由此写出点A,B的极坐标;根据极径的几何意义将|AB|用含的三角函数表示出来;利用三角函数知识求最值.【规范解答】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2 x=0.联立 解得 或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和 32222xy2y0,xy2 3x0,
13、x0,y0 3x,23y.2 3 3(,).22(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其 中00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程.xacos t,y1asin t (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中 0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)(t为参数),所以x2+(y-1)2=a2.所以C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆.方程为x2+y2-2y+1-a2=0.因为x2+y2=2,y=sin,所以2-2sin+1-a2=0,即为C1的极坐标方程.x
14、acos t,y1asin t (2)C2:=4cos,两边同乘,得2=4cos,因为2=x2+y2,cos=x,所以x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.-得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.【加固训练】(2015平顶山一模)已知直线l的参数 方程为 (t为参数),曲线C的参数方程为 (为参数).1xt,23yt12 x2cos,ysin(1)若在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐 标为 ,判断点P与直线l的位置关
15、系.(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求点Q到直线l的距离 的最大值与最小值的差.(4,)3【解析】(1)把点P的极坐标 化为直角坐标为(2,2 ),把直线l的参数方程 (t为参数)化为直角坐标 方程为y=x+1,由于点P的坐标不满足直线l的方程,故点P不在直线l上.(4,)331xt,23yt12 3(2)因为曲线C的参数方程为 (为参数),曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-2)2+y2=1,表示以(2,0)为圆心,半径等于1的圆.所以圆心到直线l的距离d=所以l与圆相离,x2cos,ysin|2 301|131,23 1故点Q到直线l的距离的最小值为d-r=,最大值为 d+r=所以点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差为2.13233,2