1、四川省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（3，1）B（1，3）C（1，3）D（3，1）2用反证法证明“若xy，则x3y3”时，假设内容是（）Ax3=y3Bx3y3Cx3=y3或x3y3Dx3=y3或x3y33设随机变量N（0，1），若P（1）=p，则P（10）=（）A+pB1pC12pDp4（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A64B32C24D165有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的
2、，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）ABCD6若离散型随机变量的分布列为：则随机变量的期望为（） 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 XA1.4B0.15C1.5D0.147已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）单调递减B函数y=f（x）的图象是中心对称图形Cx0R，f（x0）=0D若x0是f（x）的极值点，则f（x0）=08现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A6B8C12D169正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
3、为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线10现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A男生2人，女生6人B男生3人，女生5人C男生5人，女生3人D男生6人，女生2人11设双曲线=1（0ab）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）AB或2C2或D212已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（0，+），都有ff（x）log2x=3
4、，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，）B（1，2）C（，1）D（2，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上13复数z=的共轭复数为14三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）15已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有2恒成立，则a的取值范围是16方程x|x|y|y|=1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：f（x）在R上单调递减；函数F（x）=f（x）x存在3个零点；函数y=f（x）的
5、值域是R；函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|y|y|=1确定的曲线其中所有正确的命题序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本现从甲、乙两层中各取两本书（1）求取出的4本书都是数学书的概率（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率18已知函数f（x）=ln（x+1）+（1）当函数f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线4yx+1=0垂直时，求实数m的值；（2）若x0时，f（x）1恒成立，求实数m的取值范围19已知平面内一动点P（x，
6、y）（x0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求OAB面积的最小值20某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）21已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的
7、一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（I）求椭圆C的方程；（）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足APQ=BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由22已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）（1）当a0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间1，e上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：kf
8、（x0）四川省眉山市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A（3，1）B（1，3）C（1，3）D（3，1）考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算和复数的几何意义进行化简即可解答：解：=13i，对应的坐标为（1，3），故选：B点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算进行化简是解决本题的关键2用反证法证明“若xy，则x3y3”时，假设内容是（）Ax3=y3Bx3y3Cx3=y3或x3y3Dx3=y3或x3
9、y3考点：反证法与放缩法 专题：证明题；推理和证明分析：由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3y3”的否定为：“x3y3”，由此得出结论解答：解：用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x3y3”的否定为：“x3y3”，故选：C点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题3设随机变量N（0，1），若P（1）=p，则P（10）=（）A+pB1pC12pDp考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题分析：根据随机变量N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应
10、的概率相等，根据大于1的概率得到小于1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果解答：解：随机变量N（0，1），正态曲线关于x=0对称，P（1）=p，P（1）=p，P（10）=p，故选D点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题是一个基础题，题目中所处的字母p可以变式为实数4（1+）6的展开式中有理项系数之和为（）A64B32C24D16考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数为有理数，求出r的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和解答：解：（1+）6的
11、展开式的通项公式为 Tr+1=，令为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为 +=25=32，故选：B点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题5有3位同学参加测试，假设每位同学能通过测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为（）ABCD考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式 专题：概率与统计分析：先求出所有的同学都没有通过的概率，再用1减去此概率，即得所求解答：解：所有的同学都没有通过的概率为=，故至少有一位同学能通过测试的概率为 1=故选：D点评：本题主要考查相互独立事件的
12、概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题6若离散型随机变量的分布列为：则随机变量的期望为（） 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 XA1.4B0.15C1. 5D0.14考点：离散型随机变量的期望与方差 专题：计算题；概率与统计分析：利用随机变量的期望公式、随机变量的分布列的概率和为1，即可得出结论解答：解：由题意，x=10.150.40.35=0.1数学期望E=00.15+10.4+20.35+30.1=1.4，故选：A点评：本题考查随机变量的期望公式及分布列的概率和为1，是一道基础题7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A若x0
13、是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x0）单调递减B函数y=f（x）的图象是中心对称图形Cx0R，f（x0）=0D若x0是f（x）的极值点，则f（x0）=0考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：对于A，采用取特殊函数的方法，若取a=1，b=1，c=0，则f（x）=x3x2x，利用导数研究其极值和单调性进行判断；对于B：因为函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，都可能经过中心对称图形的y=x3的图象平移得到，故其函数y=f（x）的图象是中心对称图形；对于C：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，由于当x时，y，当x+时，y+，故在
14、区间（，+）肯定存在零点；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f（x0 ）=0，正确解答：解：对于三次函数f （x ）=x3+ax2+bx+c，A：若取a=1，b=1，c=0，则f（x）=x3x2x，对于f（x）=x3x2x，f（x）=3x22x1由f（x）=3x22x10得x（，）（1，+）由f（x）=3x22x10得x（，1）函数f（x）的单调增区间为：（，），（1，+），减区间为：（，1），故1是f（x）的极小值点，但f（x ）在区间（，1）不是单调递减，故错；B：f（x）+f（x）=（x）3+a（x）2+b（x）+c+x3+ax2+bx+c=+2c，f（）=（）3+a（）2
15、+b（）+c=+c，f（x）+f（x）=2f（），点P（，f（）为对称中心，故B正确C：由于当x时，y，当x+时，y+，故x0R，f（x0）=0，正确；D：若x0是f（x）的极值点，根据导数的意义，则f（x0 ）=0，正确故答案为：A点评：本题考查了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及导数的运算8现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数有（）A6B8C12D16考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法
16、，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求解答：解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有3=6种方法若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有32=6种方法综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有 6+6=12种，故选C点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，M是棱AB的中点，点P是平面ABCD上的动点，P到直线A1D1的距离为d，且d2|PM|2=1，则动点P的轨迹是（）A圆B抛物线C椭圆D双曲线考点：轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：作
17、PQAD，作QRD1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2PQ2=RQ2=1，又已知PR2PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离解答：解：如图所示：正方体ABCDA1B1C1D1中，作PQAD，Q为垂足，则PQ面ADD1A1，过点Q作QRD1A1，则D1A1面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2PQ2=RQ2=1又已知PR2PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选：B点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键
18、10现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A男生2人，女生6人B男生3人，女生5人C男生5人，女生3人D男生6人，女生2人考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题分析：设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式Cx2C8x1A33=90，解出x即可解答：解：设男学生有x人，则女学生有8x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案Cx2C8x1A3
19、3=90，x（x1）（8x）=30=235，x=3故选B点评：本题考查排列组合数的实际应用，是一个综合题，解题时思考方法同一般的排列组合一样，根据题意列出等式，得到结果11设双曲线=1（0ab）的半焦距为c，（a，0），（0，b）为直线l上两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（）AB或2C2或D2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出直线l的方程，利用原点到直线l的距离为c，及c2=a2+b2，求出离心率的平方e2，进而求出离心率解答：解：直线l过（a，0），（0，b）两点，直线l的方程为：，即 bx+ayab=0，原点到直线l的距离为c，
20、=c又c2=a2+b2，3e416e2+16=0，e2=4，或e2=ab0，c2=a2+b22a2，e=，故离心率为e=，故选：A点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题12已知定义在（0，+）上的单调函数f（x），对x（0，+），都有ff（x）log2x=3，则方程f（x）f（x）=2的解所在的区间是（）A（0，）B（1，2）C（，1）D（2，3）考点：导数的运算 专题：导数的综合应用分析：设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，
21、2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案解答：解：根据题意，对任意的x（0，+），都有ff（x）log2x=3，又由f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则f（x）log2x为定值，设t=f（x）log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f（x）=，将f（x）=log2x+2，f（x）=代入f（x）f（x）=2，可得log2x+2=2，即log2x=0，令h（x）=log2x，分析易得h（1）=0，h（2）=10，则h（x）=log2x的零点在（1，2）之间，则方程log2x=0，即f（x）f（x）=2
22、的根在（1，2）上，故选：B点评：本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中横线上13复数z=的共轭复数为i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的基本运算法则进行化简即可解答：解：z=+i，则z=的共轭复数为=i，故答案为：i点评：本题主要考查复数的共轭复数的计算，比较基础14三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分
23、析：先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可解答：解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有333=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评：本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题15已知f（x）=alnx+x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有2恒成立，则
24、a的取值范围是1，+）考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：依题意知，f（x）=+x2（x0）恒成立a2xx2恒成立，令g（x）=2xx2=（x1）2+1，利用二次函数的对称性、单调性与最值，可求得g（x）max，于是可得a的取值范围解答：解：f（x）=alnx+x2（a0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有2恒成立，f（x）=+x2（x0）恒成立，a2xx2恒成立，令g（x）=2xx2=（x1）2+1，则ag（x）max，g（x）=2xx2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，当x=1时，g（x）=2xx2取得最大值g（1）=1，a1即a的取值范围是1，+）故答案为：1，+
25、）点评：本题考查函数恒成立问题，考查导数的几何意义与二次函数的对称性、单调性与最值，考查转化思想16方程x|x|y|y|=1的曲线即为函数y=f（x）的图象，对于函数y=f（x），有如下结论：f（x）在R上单调递减；函数F（x）=f（x）x存在3个零点；函数y=f（x）的值域是R；函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|y|y|=1确定的曲线其中所有正确的命题序号是考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性解答：解：（1）x0，y0，x2y2=1即y2x2=1，此为a=b=1
26、，实轴为y轴的双曲线在第1象限的部分，增函数；（2）x0，y0，x2+y2=1不存在；（3）x0，y0，x2y2=1，x2+y2=1，此为圆心在原点，半径为1的圆在第2象限的部分，增函数；（4）x0，y0，x2+y2=1，x2y2=1，此为a=b=1，实轴为x轴的双曲线在第3象限的部分，增函数；根据上述情况作出相应的图象，如图所示，故：f（x）在R上单调递减，错误；函数f（x）的图象与函数y=x+在第二象限相切，在第一，三象限延长后各有一个交点，即函数f（x）的图象与函数y=x+共有三个交点，即函数F（x）=f（x）x存在3个零点，正确；函数y=f（x）的值域是R，正确；函数g（x）和f（x）
27、的图象关于原点对称，则函数y=g（x）的图象就是方程x|x|+y|y|=1，即方程x|x|y|y|=1确定的曲线，正确即正确的命题序号是：，故答案为：点评：本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知书架中甲层有英语书2本和数学书3本，乙层有英语书1本和数学书4本现从甲、乙两层中各取两本书（1）求取出的4本书都是数学书的概率（2）求取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率考点：相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合及简单计数问题 专题：计
28、算题分析：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，则所求的事件的概率等于P（A）P（B）=，运算求得结果（2）利用互斥事件的概率加法公式，所求的事件的概率等于 +，运算求得结果解答：解：（1）设“从甲层取出的2本书均为数学书”的事件为A，“从乙层取出的2本书均为数学书”的事件为B，由于A、B相互独立，记“取出的4本书都是数学书的概率”P1，则P1=P（AB）=P（A）P（B）= （2）设“从甲层取出的2本书均为数学书，从乙层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学”的事件为C，“从甲层取出的2本书中，1本是英语，1本是数学，从乙层取出的2本
29、书中均为数学”的事件为D，由于C，D互斥，记“取出的4本书中恰好有1本是英语书的概率”为P2P2=P（C+D）=P（C）+P（D）=+=点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题18已知函数f（x）=ln（x+1）+（1）当函数f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线4yx+1=0垂直时，求实数m的值；（2）若x0时，f（x）1恒成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂
30、直的条件：斜率之积为1，即可得到所求m的值；（2）不等式ln（x+1）+1在x0时恒成立，即mx+1（x+1）ln（x+1）在x0时恒成立令g（x）=x+1（x+1）ln（x+1）（x0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不小于最大值即可解答：解：（1）f（x）=，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线的斜率k=f（0）=1m，函数f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线4yx+1=0垂直，1m=4，m=5； （2）依题意不等式ln（x+1）+1在x0时恒成立，即mx+1（x+1）ln（x+1）在x0时恒成立令g（x）=x+1（x+1）ln（x+1）（x0），则g（x）=1ln（x
31、+1）+1=ln（x+1），x0时，g（x）0，函数g（x）在0，+）时为减函数，g（x）g（0）=1，m1即实数m的取值范围是1，+）点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，主要考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，注意运用分离参数和函数的单调性是解题的关键19已知平面内一动点P（x，y）（x0）到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于不同于坐标原点O的两点A，B，求OAB面积的最小值考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）根据平面内一动点P到点F（1，0
32、）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x0时，点P到F的距离等于点P到直线x=1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；（2）过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4x，可得y24my4=0，利用韦达定理，结合OAB面积=|y1y2|，即可求OAB面积的最小值解答：解：（1）平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，当x0时，点P到F的距离等于点P到直线x=1的距离，动点P的轨迹为抛物线，方程为y2=4x（x0）；动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x0）；（2）设A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），过点F的直线l的方程为x=my+1，代入y2=4
33、x，可得y24my4=0，y1+y2=4m，y1y2=4，OAB面积=|y1y2|=，m=0时，OAB面积的最小值为2点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题20某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）考点：离散型随机变
34、量的期望与方差；条件概率与独立事件 专题：应用题；概率与统计分析：（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可解答：解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X=0）=，P（X=10）=+=，P（X=20）=，P（X=30）=1=X的分布列为X0102030
35、pX的数学期望为EX=0+10+20+30=点评：此题考查了独立事件，条件概率的概率公式，随机变量的分布列及其期望，重点考查了学生对于题意的正确理解及准确的计算能力21已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（I）求椭圆C的方程；（）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当点A，B运动时，满足APQ=BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）设
36、椭圆C的方程为 +=1（ab0），由条件利用椭圆的性质求得 b和a的值，可得椭圆C的方程（）（i）设AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简，由0，求得t的范围，再利用利用韦达定理可得 x1+x2 以及x1+x2 的值再求得P、Q的坐标，根据四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ=PQ|x1x2|，计算求得结果（ii）当APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，PA的方程为y1=k（x2），把它代入椭圆C的方程化简求得x2+2=再把直线PB的方程椭圆C的方程化简求得x2+2 的值，可得 x1+x2 以及x1x2 的值，从而求得AB的斜率K的值解答：解：设椭圆C的方程为 +=1（ab
37、0），由题意可得它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点（0，），b=再根据离心率=，求得a=2，椭圆C的方程为 +=1（）（i）设A（ x1，y1 ），B（ x2，y2），AB的方程为y=x+t，代入椭圆C的方程化简可得 x2+2tx+2t24=0，由=4t24（2t24）0，求得2t2利用韦达定理可得 x1+x2=2t，x1+x2=2t24在 +=1中，令x=2求得P（2，1），Q（2，1），四边形APBQ的面积S=SAPQ+SBPQ=PQ|x1x2|=2|x1x2|=|x1x2|=，故当t=0时，四边形APBQ的面积S取得最小值为4（ii）当APQ=BPQ时，PA、PB的斜率之和等于零，
38、设PA的斜率为k，则 PB的斜率为k，PA的方程为y1=k（x2），把它代入椭圆C的方程化简可得（1+4k2）x2+8k（12k）x+4（12k）28=0，x2+2=同理可得直线PB的方程为y1=k（x2），x2+2=，x1+x2=，x1x2=，AB的斜率K=点评：本题主要考查求圆锥曲线的标准方程，圆锥曲线的定义、性质的应用，直线和圆锥曲线相交的性质，直线的斜率公式、韦达定理的应用，属于难题22已知函数f（x）=lnx，g（x）=，F（x）=f（x）+g（x）（1）当a0时，求函数F（x）的单调区间；（2）若函数F（x）在区间1，e上的最小值是，求a的值；（3）设A（x1，y1），B（x2，y
39、2）是函数f（x）图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为k，证明：kf（x0）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求出F（x）=lnx+的导数，导数大于0，即可求函数的增区间；（2）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在1，e上的最小值令其为，解方程求得a的值；（3）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小解答：（1）解：F（x）=lnx+，则F（x）=，a0，x0，F（x）
40、0，函数F（x）的单调增区间是（0，+）；（2）解：在1，e上，分如下情况讨论：1当a1时，f（x）0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；2当a=1时，函数f（x）在（1，e单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；3当1ae时，函数f（x）在1，a）上有f（x）0，单调递减，在（a，e上有f（x）0，单调递增，函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1=，得a=4当a=e时，函数f（x）在1，e）上有f（x）0，单调递减，其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；5当ae时，显然函数f（x）在1，e上单调递减，其最小值为f（e）=1+2，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为（3）证明：当a=0时，f（x）=lnxf（x）=f（x0）=又k=不妨设x2x1，要比较k与f（x0）的大小，即比较与的大小，又x2x1，即比较ln与=的大小令h（x）=lnx（x1），则h（x）=0h（x）在1，+）上是增函数又1，h（）h（1）=0，ln，即kf（x0）点评：此题考查了利用导函数求函数的单调的增区间，还考查了构造函数并利用构造的函数的单调性把问题转化为恒成立的问题，重点考查了学生的转化的思想及构造的函数与思想