1、第二十四章 圆24.4弧长和扇形面积第1课时学习目标 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点）2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）导入新课图片欣赏 问题1 如图，在运动会的4100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.导入新课情境引入 讲授新课问题1 半径为R的圆,周长是多少？ORC=2 R问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180OR90OR 45ORn合作探究 与弧长相关的计算(1)圆心角是180，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是
2、圆周长的_.180360(2)圆心角是90，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_.90360(3)圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_.45360(4)圆心角是n，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_.360n1803609036045360360n用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的.注意 算一算 已知弧所对的圆心角为60，半径是4，则弧长为_.43 2360180nn RlR知识要点 弧长公式 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
3、解：由弧长公式，可得弧AB的长 100 9005001570(mm),180l 因此所要求的展直长度l=2700+1570=2970（mm）.答：管道的展直长度为2970mm100 ACBDO OA解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n.解得 n90因此，滑轮旋转的角度约为90.15.7,180n R一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.OBA圆心角弧
4、 OBA扇形概念学习 与扇形面积相关的计算 下列图形是扇形吗？判一判 合作探究 问题1 半径为r的圆,面积是多少？Or2S=r问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?圆心角占周角的比例扇形面积占圆面积的比例扇形的面积21360180813604536045360180903609036014r 212pr 214pr218Or180Or90Or45Orn360n360n2360nr扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n的扇形的面积 公式中n的意义n表示1圆心角的倍数，它是不带单位的；公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意 2=360n rS扇形知识要点 _大小不
5、变时，对应的扇形面积与_ 有关，_ 越长，面积越大.圆心角半径半径圆的不变时，扇形面积与有关，越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.OAB DCEFOABCD问题 扇形的面积与哪些因素有关？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？1118022 1802n rrn rSrlr扇形ABOO类比学习 180n rl2=360n rS扇形例3 如图，圆心角为60的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）解：n=60，r=10cm，扇形的面积为=2+180n rlr26010=36050=3
6、252.36(cm).扇形的周长为 2=180n rS6010=20+180 10=20+330.47(cm).1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积S扇=432.已知扇形的圆心角为120，半径为2，则这个扇形的面积S扇=.24 cm3 43 试一试 例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）(1)O.BAC讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂
7、直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？阴影部分面积=扇形OAB的面积-OAB的面积 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.OC0.6,DC0.3,ODOC-DC0.3，ODDC.又 AD DC，AD是线段OC的垂直平分线，ACAOOC.从而 AOD60,AOB=120.O.BACD(3)有水部分的面积：SS扇形OAB-SOAB2212010.6360210.120.6 30.320.22(m)AB ODOBACD(3)OO弓形的面积=扇形的面积三角形的面积 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 知识要点 弓
8、形的面积公式 2.如图，RtABC中，C=90,A=30,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将ABC顺时针旋转120到A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）A.BC.D.1.已知弧所对的圆周角为90,半径是4,则弧长为 .当堂练习77338 47338 433 C2ABCOHC1A1H1O13.如图，A、B、C、D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是 .212 cmABCD解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90的扇形弧长之和，即4.如图，RtABC的边BC位于直线l上，AC，ACB90，A30.若
9、RtABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为_(结果用含的式子表示)3312029033243(43).180180l (43)5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.OABDCE22=24010.60.3 0.6 336020.240.09 30.91 cm.OABSS弓形扇形S解：6.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.ABABC解 由图可知，由于ACB=60，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120，即ACA=120，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA 的长.等边三角形ABC的边长为10cm，弧AA 所在圆的半径为10cm.l弧AA 1201020(cm).1803答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为 20cm.3 课堂小结弧长 计算公式：180n Rl 扇形 定义 公式 2360n RS扇形 112SC R扇形阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形 割补法