1、第七节抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等(3)l不经过点F.2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y0(x轴)x0(y轴)焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0焦点弦性质设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y
2、1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角).(3).(4)以弦AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切(6)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.1(基础知识：抛物线的定义)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A BC D0答案：B2(基本方法：抛物线的标准方程)以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是()Ay4x2 By8x2Cy24x Dy28x答案：D3(基本应用：抛物线的定义)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点P有()A0个 B1个C2个 D4个答案：C4(基本能力：
3、抛物线的性质)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_答案：1，15(基本能力：抛物线的性质)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案：y28x或x2y题型一抛物线的定义及应用1已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A21 B22C1 D2解析：由题意得圆x2(y4)21的圆心A(0，4)，半径r1，抛物线的焦点F(1，0).由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和
4、的最小值是|AF|r11.答案：C2过抛物线y24x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|10，则AB的中点到y轴的距离等于()A1 B2C3 D4解析：AB的中点到抛物线准线的距离为5，所以AB的中点到y轴的距离为514.答案：D3已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，求动圆圆心的轨迹E的方程解析：依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.方法总结 利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离
5、和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化(3)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|x|或|PF|y|. 题型二抛物线的方程及性质 典例剖析类型 1标准方程 例1(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为()Ax212y或y216xBx212y或y216xCx29y或y212xDx29y或y212x解析：当焦点为(0，3)时，设抛物线方程为x22py(p0)，则3，所以p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，则4，所以p8，此时抛物线的标准方程为y216x.故所求
6、抛物线的标准方程为x212y或y216x.答案：A(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的标准方程为()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x解析：由题意知，F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为，又因为圆过点(0，2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的标准方程为y24x或y216x.答案：C类型 2抛物线性质 例2(1)(2020高考全国卷)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：
7、y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为()A BC(1，0) D(2，0)解析：法一：抛物线C关于x轴对称，D，E两点关于x轴对称可得出直线x2与抛物线的两交点的坐标分别为(2，2)，(2，2).不妨设D(2，2)，E(2，2)，则(2，2)，(2，2).又ODOE，44p0，解得p1，C的焦点坐标为.法二：抛物线C关于x轴对称，D，E两点关于x轴对称ODOE，D，E两点横、纵坐标的绝对值相等不妨设点D(2，2)，将点D的坐标代入C：y22px，得44p，解得p1，故C的焦点坐标为.答案：B(2)(2020江西萍乡模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线l
8、：x1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x1上的射影为A，且直线AF的斜率为，则MAF的面积为()A B2C4 D8解析：如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|2.直线AF的斜率为，AFN60.MAF60，|AF|4.由抛物线的定义可得|MA|MF|，AMF是边长为4的等边三角形SAMF424.答案：C方法总结1求抛物线标准方程的方法及注意点(1)方法：求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2ax(a0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2
9、ay(a0)，a的正负由题设来定，这样就减少了不必要的讨论(2)注意点：当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题2抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算题组突破1过点P(2，0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A BC D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过
10、点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为点D，E(图略).|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.答案：A2已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且30，直线MN交l于点P，NNl，垂足为N.若MNP的面积为24，则F到l的距离为()A4 B6C8 D12解析：作出图形如图所示，作MMl，垂足为M，设|NF|m(m0)，则|NN|m.由30，得|MF|3m，则|MM|3m，过点N作NGMM，垂足为G，则|MG|m，|MG|2m，所以NMG60，所以|MP|6m，|NP|2m，|NP|m，SMNP|MM|NP|3mm24，所以m4.易知F
11、为线段MP的中点，所以F到l的距离为p6.答案：B题型三抛物线的综合问题 典例剖析典例(2020高考全国卷)已知椭圆C1：1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|5，求C1与C2的标准方程解析：(1)由已知可设C2的方程为y24cx，其中c.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，；C，D的纵坐标分别为2c，2c，故|AB|，|CD|4c.由|CD|AB|得4c，即322.解得2(舍去)或.所以C1的离心率为
12、.(2)由(1)知a2c，bc，故C1：1.设M(x0，y0)，则1，y4cx0，故1.因为C2的准线为xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故x05c，代入得1，即c22c30，解得c1(舍去)或c3.所以C1的标准方程为1，C2的标准方程为y212x.方法总结1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”
13、“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解4设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦对点训练(2021陕西汉中模拟)已知点M为直线l1：x1上的动点，N(1，0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2：ykxm(k0)与圆E：(x3)2y26相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为
14、线段AB的中点，求直线l2的方程解析：(1)由已知可得|PN|PM|，即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，曲线C的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，由ykxm，y24x，得k2x2(2km4)xm20，x1x2，x0，y0kx0m，即D.直线l2与圆E：(x3)2y26相切于点D，|DE|26，且DEl2，从而6，kDEk1，即整理可得2，即k，m0，满足0，故直线l2的方程为xy0或xy0.1(2019高考全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解
15、析：抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0).由题意得，解得p0(舍去)或p8.答案：D2(2020高考山东卷)斜率为的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|_解析：由题意得，抛物线焦点为F(1，0)，则直线AB的方程为y(x1).由得3x210x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x22.答案：已知抛物线y22px(p0)与双曲线y21在第四象限的交点为G(x0，y0)，点G到抛物线的准线的距离dp，则当p取得最小值时，抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为_解析：联立，得可得2px1，即x22a2pxa20，解得xa2pa或xa2pa0(舍去)，故x0a2pa，抛物线的准线方程为x，则点G到抛物线的准线的距离da2pap，即app，可得2ap2p21，故p2，又a，所以当a时，p24，即p取得最小值2，此时抛物线的焦点为F(1，0)，双曲线的渐近线方程为yx，即8x3y0，所以抛物线的焦点F到双曲线的渐近线的距离为.答案：