1、第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个相异实根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx2 1一元二次不等式的解法技巧求不等式ax2bxc0(a0)的解集，先求出对应方程ax2bxc0(a0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集2分式不等式的转化0f(x)g(x)0；001(基本方法：解不等式)不等式x(9x)0的解集为_(用区间表示)解析：x23x40(x4)(x1)0.如图所示，作出函数y(x4)(x1)的图象，当4x1时
2、，y0(a0).解析：由x24ax5a20，知(x5a)(xa)0.由于a0，故分a0与a0讨论当a0时，xa；当a0时，x5a.综上，当a0时，解集为x|xa；当a0时，解集为x|x5a或x0(a0)”的形式，求方程ax2bxc0的根，结合图象，写出解集(大于取两边，小于取中间)不含参数的一元二次不等式讨论参数法二次项中的系数含参数，讨论等于0，小于0，大于0；方程根个数不定，讨论与0的关系；根的大小不定时，讨论两根大小含参数的不等式题组突破1(母题变式)将例1(2)的不等式改为“x23x40”，其解集为_解析：由x23x40得x23x40，即(x4)(x1)0，x1或x4.答案：(，41，
3、)2(母题变式)将例1(2)的不等式变为“x23x40”，其解集为_.解析：令yx23x4，(3)2440恒成立，xR.答案：R3已知不等式ax2bxc0的解集为，则不等式cx2bxa0的解集为_解析：由题意得x，3是方程ax2bxc0的两根，ba，ca(a0)，cx2bxa0，即为3x27x20，解得x2或x.答案：(2，)4解关于x的不等式ax2(a1)x10(a0).解析：原不等式变为(ax1)(x1)0，因为a0，所以(x1)0，所以当a1时，解得x1；当a1时，解集为； 当0a1时，解得1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.题型二
4、不等式恒成立问题 典例剖析类型 1在R上恒成立问题例1若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2，2C(2，2 D(，2)解析：当a20，即a2时，不等式为40对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a2，实数a的取值范围是(2，2.答案：C类型 2在给定x的区间上恒成立问题例2(2021河南郑州调研)若不等式x2ax10对一切x都成立，则a的最小值是_解析：法一：由于x0，则由已知可得ax在x上恒成立，而当x时，a，故a的最小值为.法二：设f(x)x2ax1，则其对称轴为x.若，即a1时，f(x)在上单调递减，此时应有f0，从而a1.若0时，f(
5、x)在上单调递增，此时应有f(0)10恒成立，故a0.若0，即1a0时，则应有f110恒成立，故10且g(1)0，解得x3.答案：(，1)(3，)(2)若mx2mx10对于m1，2恒成立，求实数x的取值范围解析：设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当图象为一条线段m1，2时，则即解得x，故x的取值范围为.方法总结1不等式恒成立常见题型：(1)ax2bxc0(xR)恒成立，即或(2)ax2bxc0(xR)恒成立，即或(3)x2mxn0(xa，b)恒成立，即(4)x2mxn0(xa，b)恒成立，即2给出参数范围解不等式，采用反解“主元法”，将参数视作“主元”，即将参数看作“自变量”
6、的构造函数，建立不等式题组突破1不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_解析：因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，所以a28b2b(ab)0恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得2b24(8)b2b2(2432)0，所以(8)(4)0，解得84.答案：8，42已知f(x)mx2mx1，若对于x1，3，f(x)m5恒成立，则实数m的取值范围是_解析：由mx2mx1m5，得m(x2x1)6.x2x10，m在1，3上恒成立令y.t在1，3上是增函数，y在1，3上是减函数因此函数的最小值ymin，m的取值范围是.答案：设关于x的一元二
7、次方程ax2x10(a0)有两个实根x1，x2.(1)求(1x1)(1x2)的值；(2)求证：x11且x21；(3)如果，试求a的取值范围解析：(1)关于x的一元二次方程ax2x10(a0)有两个实根x1，x2，x1x2，x1x2，则(1x1)(1x2)1x1x2x1x211.(2)证明：由0，得0a.设f(x)ax2x1，则f(x)的对称轴与x轴交点横坐标x2，又由于f(1)a0，所以f(x)的图象与x轴的交点均位于点(1，0)的左侧，故x11且x21.(3)由2，2a.又0a，a的取值范围为.1已知g(x)是R上的奇函数，当x0时，g(x)ln (1x)，且f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1，2)D(2，1)解析：若x0，则x0，所以g(x)g(x)ln (x1)，所以f(x)则函数f(x)是R上的增函数，所以当f(2x2)f(x)时，2x2x，解得2x1.答案：D2已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)x3，若不等式f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是()A(，)B(，0)C(，0)，)D(，)，)解析：f(x)在R上为奇函数，且在0，)上为增函数，f(x)在R上是增函数，结合题意得4t2mmt2对任意实数t恒成立mt24t2m0对任意实数t恒成立m(，).答案：A
