1、专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1设AB为过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A Bp C2p D无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x，yp，|AB|min2p.故选C2(2020陕西部分学校摸底检测)设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|BF2|的最小值为()A13 B12 C11 D10答案C解析由题意，得双曲线的实半轴长a2，虚半轴长b.根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，由得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|A
2、B|8.又|AB|min3，所以|AF2|BF2|的最小值为11，故选C3已知M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|4，根据抛物线的定义知|FM|y02，所以y024，得y02，故y0的取值范围是(2，)4过椭圆1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A14 B16 C18 D20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知
3、|FQ|PF2|，|OP|OQ|，所以PQF的周长为|PF|FQ|PQ|PF|PF2|2|PO|2a2|PO|102|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF的周长取得最小值102418.故选C5(2020成都模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|MN|4b，则双曲线C的离心率的取值范围为()A B(，)C(，) D(1，)(，)答案C解析由双曲线的定义知|MF2|MF1|2a，则|MF2|MF1|2a，则|MF2|MN|4b恒成立，即|MF1|MN|2
4、a4b恒成立，即|MF1|MN|4b2a恒成立，则(|MF1|MN|)min4b2a恒成立由平面几何知识知，当MF1x轴时，|MF1|MN|取得最小值，所以4b2a，即32840，解得02.又e，所以e(，)，故选C6(2019厦门一中开学考试)已知ABC三个顶点A，B，C都在曲线1上，且20(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|k2|的取值范围为()A B0，)C D答案D解析由于A，B都在曲线1上，则有1，1，两式相减并整理可得，由20知，2，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为AB，AC的中点，则k1kAC，k2k
5、AB，则|k1|k2|kAC|kAB|22 22，当且仅当|kAB|kAC|时，等号成立故选D二、填空题7(2020湖北黄冈中学月考)设椭圆y21上任意一点A到两条直线x2y0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为_答案解析设点A的坐标为(2cos，sin)，则d1d2，所以d1d2的最大值为.8(2020广东四校联考)已知P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值是_答案12解析设双曲线的右焦点为F2(，0)，不妨设渐近线l：xy0，则点F2(，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线的右支上，则|
6、PF1|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|21，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|PQ|的最小值是12.9(2019厦门质检)过抛物线E：y24x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，则4|CD|AB|的最大值是_答案8解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为xt(yy1)x1t(yy1)，代入抛物线的方程，消去x，得y24ty4ty1y0.由16t24(4ty1y)0，得t，所以直线AC的方程为x(yy1)，其中令x0，得yC，同理可求得yD，所以|CD|y
7、1y2|.由题意，知抛物线的焦点为F(1,0)，则设直线AB的方程为xmy1，代入抛物线的方程，消去x，得y24my40，所以y1y24m，y1y24，所以4|CD|AB|2|y1y2|y1y2|284(1m2)4()28，所以当时，4|CD|AB|取得最大值为8.三、解答题10(2020广东惠州入学联考)已知抛物线y22px(p0)的准线经过椭圆1的一个焦点(1)求抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点(点A在x轴上方)，且满足2，若点T是抛物线的曲线段AB上的动点，求ABT面积的最大值解(1)因为椭圆1的左焦点为F1(1,0)，抛物线的准线为直线x，所以1，解得p
8、2.所以抛物线的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知y10，y20，则y1y24m，y1y24，所以2y4，即y2，则y12，所以m.所以|AB|3.解法一：(切线法)易知当ABT面积最大时，点T为与直线l平行且与抛物线相切的切点设与直线l平行的直线方程为xyt，代入y24x得y2y4t0.令()24(4t)216t0，解得t，则与直线l平行且与抛物线y24x相切的直线的方程为xy，即4xy0.又直线l的方程为4xy40，所以这两条平行直线间的距离d.所以ABT面积的最大值S|AB|d.解法二：(切点法)设点T的坐标为，nb0)的左、右顶点分别为M，N，点P是椭圆上
9、异于点M，N的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，满足kPMkPN.(1)求椭圆C的离心率；(2)设椭圆C的左焦点为F(c,0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点记GFD的面积为S1，OED的面积为S2，求的取值范围解(1)设P(x0，y0)，则1，即，因为kPMkPN，所以，又a2b2c2，则有a24c2，a2c，因此椭圆C的离心率e.(2)由(1)可知a2c，bc，则椭圆的方程为1.根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为yk(xc)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D
10、(xD,0)，联立消去y并整理得(4k23)x28ck2x4k2c212c20，从而有x1x2，y1y2k(x1x22c)，所以G.因为DGAB，所以k1，解得xD.由RtFGD与RtEOD相似，所以99，令t，则t9，从而|AA|2.依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，设为1(ab0)，其中|BA|BA|2a4，|AA|2c2，a2，c1，b2a2c23，动点B的轨迹方程为1.(2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x2，此时直线l与椭圆1相切，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)由得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80.设M(x1，y1
11、)，N(x2，y2)，则由96(12k)0k0，所以m1.又点M(m,0)在椭圆长轴上(不含端点)，所以1m，即实数m的取值范围为(1，)(2)假设以EF为直径的圆恒过定点当EFx轴时，以EF为直径的圆的方程为x2y21；当EFy轴时，以EF为直径的圆的方程为x22，则两圆的交点为Q(0,1)下证当直线EF的斜率存在且不为0时，点Q(0,1)在以EF为直径的圆上设直线EF的方程为yk0x(k00)，代入y21，整理得(2k1)x2k0x0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3x4，x3x4，又(x3，y31)，(x4，y41)，所以x3x4(y31)(y41)x3x4(1k)x3x4k0(x3x4)(1k)k00，所以点Q(0,1)在以EF为直径的圆上综上，以EF为直径的圆恒过定点Q(0,1)