1、1.2 利用二分法求方程的近似解 教材要点要点 二分法对于一般的函数yf(x)，xa，b，若函数yf(x)的图象是一条_的曲线，_，则每次取区间的_，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法连续f(a)f(b)0中点状元随笔 (1)理解二分法的含义时要注意两点二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目要求的精度，只需进行有限次运算即可它的根据是根的存在定理(2)二分法求函数零点的两个关键点初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算注意：并不是所有函数的零点都能用二分法求解，只有函数yf(x)的图
2、象在零点附近是连续的且在该零点左右函数值异号才可以用二分法求解(3)用二分法求函数零点有根区间的原则每一次取中点后，若中点函数值为零，则这个中点就是方程的解若中点函数值不等于零，则下一个有根区间是区间端点函数值为异号的区间基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位()(2)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用()(3)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间()(4)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()2以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数
3、零点近似值的是()解析：根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值对各图象分析可知，选项A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值答案：C3多选题若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题中正确的是()A函数f(x)在(1,2)或2,3)内有零点B函数f(x)在(3,5)内无零点C函数f(x)在(2,5)内有零点D函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案：ABD4已知函数yf(x)
4、在区间(2,4)上连续，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x1 2423，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点所在的区间为_解析：f(2)f(3)0，零点在区间(2,3)内答案：(2,3)题型一 二分法概念的理解自主完成1下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点答案：B2多选题下列函数中，能用二分法求函数零点的有()Af(x)3x1 Bf(x)x22x1Cf(x)log4x Df(x)ex2解析
5、：f(x)x22x1(x1)2，f(1)0，当x0；当x1时，f(x)0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.答案：ACD3用二分法求方程2x3x70在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_解析：设f(x)2x3x7，f(1)23720，f(3)100，f(2)30，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x3x70有根的区间是(1,2)答案：(1,2)方法归纳二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对
6、函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用题型二 用二分法求方程的近似解师生共研例1 用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.01)解析：经计算f(1)0，f(1.5)0，所以函数在1,1.5内存在零点x0.取(1,1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.5)f(1.25)0，所以x0(1.25,1.5)，如此继续下去，如下表：区间中点值中点函数近似值(1,1.5)1.250.30(1.25,1.5)1.3750.22(1.25,1.375)1.312 50.05(1.312 5,1.375)1.343 750.08(1.312 5,1.
7、343 75)1.328 1250.01(1.312 5,1.328 125)1.320 312 50.02 因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.状元随笔 方程x3x10的正解对应函数f(x)x3x1的图象与x轴正半轴交点的横坐标，确定出解的初始区间，利用二分法求出近似解方法归纳(1)用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则需依据图象估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是m，c还是c，n，逐步缩小区间的“长
8、度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口跟踪训练1 利用计算器求方程x22x10的正解的近似值(精确度0.1)解析：设f(x)x22x1.f(2)10，f(3)20，又f(x)在(2,3)内递增，在区间(2,3)内，方程x22x10有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x12.5，f(2.5)0.250，x0(2,2.5)再取区间(2,2.5)的中点x22.25，f(2.25)0.437 50，x0(2.25,2.5)同理可得，x0
9、(2.375,2.5)，x0(2.375,2.437 5)|2.3752.437 5|0.062 50.1，故方程x22x10的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.状元随笔 本题用求根公式可以求得x112，x212，取精确到0.1的近似值是x12.4，x20.4.这与用二分法所得结果相同题型三 二分法的实际应用师生共研例2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作
10、最合理？解析：如图他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50100 m之间，即一两根电线杆附近方法归纳 现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用二分法来解决跟踪训练2 在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完
11、全相同的假币(质量轻一点)现在只有一台天平，要想找出这枚假币，最多要称几次？解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币易错辨析 对二分法的原理理解不到位致误例3 已知连续函数f(x)在区间(0，a)上有唯一
12、的零点(a0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为0，a2，0，a4，0，a8，则下列说法中正确的是()A函数f(x)在区间0，a16 内一定有零点B函数f(x)在区间0，a16 或a16，a8 内有零点C函数f(x)在a16，a 内无零点D函数f(x)在区间0，a16 或a16，a8 内有零点，或零点是 a16解析：根据二分法原理，依次“二等分”区间后，零点将存在于更小的区间，因此，零点应在0，a16 或a16，a8 中或fa16 0.答案：D易错警示易错原因纠错心得(1)易受思维定式影响错选A；(2)因忘记端点“a16”也可能为零点而错选B.运用二分法时要注意两点：二分法是不断把区间一分为二逐渐逼近零点的方法有时中点值会恰好为函数的零点如本例中“fa16 0”有可能成立要注意区间的取舍运用二分法把区间一分为二，要保留端点值异号的区间，但需检验舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间 0，a16 和 a16，a8 哪个会被舍弃.