1、第二课时导数与函数的极值、最值1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点：若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点：若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条
2、连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数yf(x)在(a，b)内的极值将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值1注意两种条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2分清极值与最值的关系(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数
3、最值只要不在端点处取，则必定在极值处取(2)若函数f(x)的图象连续，则f(x)在a，b内一定有最值(3)若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值1(基础知识：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1个 B2个C3个 D4个答案：A2(基本能力：闭区间上的函数的取值)函数f(x)x23x4在0，2上的最小值是()A BC4 D答案：A3(基本能力：极小值点)已知a为函数
4、f(x)x312x的极小值点，则a_答案：24(基本方法：极值与最值的关系)函数yxex的最小值是_答案：5(基本应用：利用导数求极大值)现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是_答案：a3题型一导数与函数极值问题典例剖析类型 1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值
5、f(2)和极小值f(2)解析：由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时， f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值答案：D类型 2求已知函数的极值例2已知函数f(x)x212a ln x(a0)，求函数f(x)的极值解析：因为f(x)x212a ln x(x0)，所以f(x)2x.当a0时，因为x0，且x2a0，所以f(x)0对x0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增，f(x)无极值当a0时，令f(x)0，解得x1，x2(舍去)，所以当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0
6、f(x)极小值所以当x时，f(x)取得极小值，且f()()212a ln a1a ln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上无极值当a0时，函数f(x)在x处取得极小值a1a ln a，无极大值类型 3已知极值点求参数例3(1)(2020江西八校联考)若函数f(x)x2xa ln x在(1，)上有极值点，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x1，由题意知2x2xa0在R上有两个不同的实数解，且在(1，)上有解，所以18a0，且2121a0，所以a(，1).答案：(，1)(2)若函数f(x)的导数f(x)(xk)k，k1，kZ，已知xk是函数f(
7、x)的极大值点，则k_解析：因为函数f(x)的导数为f(x)(xk)k，k1，kZ，所以若k是偶数，则xk不是极值点，则k是奇数，若k，由f(x)0，解得x或xk；由f(x)0，解得kx，即当xk时，函数f(x)取得极大值因为k1，kZ，所以k1，若k，由f(x)0，解得xk或x；由f(x)0，解得xk，即当xk时，函数f(x)取得极小值，不满足条件综上，k1.答案：1方法总结 1利用导数研究函数极值的一般步骤(1)确定函数定义域；(2)求导数f(x)及f(x)0的根；(3)根据方程f(x)0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f(x)零点左右f(x)的值的符号，如果左正右负，那
8、么yf(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么yf(x)在这个根处取极小值如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值2判断极值点的个数首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点3根据函数极值情况求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：求解后验证根的合理性题组突破1(2021河北冀州中学模拟)已知函数f(x)的导数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取得极大值，则a的取值范围是_解析：若a0，则f(x)0，函数f(x)不存在极值；若a1，则f(x)(x1)20，函数f(x)不存在极值；若a0
9、，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值；若1a0，当x(1，a)时，f(x)0，当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极大值；若a1，当x(，a)时，f(x)0，当x(a，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值综上所述，a(1，0).答案：(1，0)2已知函数f(x)ax1ln x(aR).讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数解析：f(x)的定义域为(0，).f(x)a，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，由f(x)0得0
10、x，由f(x)0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，即f(x)在x处有极小值，无极大值综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点，当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点题型二利用导数求函数的最值问题 典例剖析典例已知函数f(x)ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数).审题互动：(1)利用导数求f(x)的单调区间(2)在(1)的基础上讨论内的单调性求极值及f 和f(e)的值解析：(1)因为f(x)ln x1ln x，f(x)的定义域为(0，)，所以f(x)，由f(x)0，得0x1，由f(x)0，得x1，所以f(x)
11、ln x的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，).(2)由(1)得f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，所以f(x)在上的最大值为f(1)11ln 10.又f1eln 2e，f(e)1ln e，且ff(e).所以f(x)在上的最小值为f2e.综上所述，f(x)在上的最大值为0，最小值为2e.方法总结1求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值2若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值对
12、点训练设函数f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k1时，求f(x)在0，2上的最值解析：(1)当k1时，f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xx(ex2).由f(x)0，解得x10，x2ln 20.由f(x)0，得x0或xln 2.由f(x)0，得0xln 2.所以函数f(x)的单调增区间为(，0)和(ln 2，)，单调减区间为(0，ln 2).(2)由(1)可知x0和xln 2是f(x)的极值点，且00，2，ln 20，2，f(0)1，f(ln 2)(ln 21)eln 2(ln 2)22(ln 21)(ln 2)2，由(1)
13、可知f(0)f(1)1，在(ln 2，)上f(x)为增函数，f(2)f(1)f(ln 2)，f(x)的最大值为f(2)e24.f(x)的最小值为f(ln 2)2ln 22(ln 2)2.(2019高考全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明：(1)f(x)的定义域为(0，).f(x)ln x1ln x.因为yln x在(0，)上单调递增，y在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0，
14、f(x)单调递增，因此f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得1x0.又fln 10，故是f(x)0在(0，x0)的唯一根综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数1已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则ab_解析：由极值和极值点概念得得或但当时有f(x)3(x1)20，此时x1不是极值，故舍去，所以ab7.答案：72(2021重庆一中10月模拟)已知函数f(x)ax2(12a)xln x(aR).若f(x)在x1处取极小值，求实数a的取值范围解析：f(x)的定义域为(0，)，对f(x)求导，得f(x)2ax12a.当a0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则f(x)在x1处取极小值；当a0时，令f(x)0，得x1或x，要使f(x)在x1处取极小值，则1，解得a0.综上可知，实数a的取值范围为.
