1、专题训练(十)二次函数与几何图形的综合应用(选做)第二十二章 二次函数类型 1 铅直方向上线段的表示与应用1(烟台中考节选)如图，抛物线 yax2bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，且 OA2OB，与 y 轴交于点 C，连接 BC，抛物线对称轴为直线 x12，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点 D 作 DEOA 于点 E，与 AC 交于点 F，设点 D 的横坐标为 m.(1)求抛物线的表达式；(2)当线段 DF 的长度最大时，求点 D 的坐标解：(1)yx2x2(2)易得A(2，0)，C(0，2)，则直线AC的表达式为yx2.由题知点D(m，m2m2)，点F(m，m2)，DFm2m2(m2
2、)m22m(m1)21.10，m1时，DF有最大值，点D(1，2)类型2 利用轴对称求三角形周长(或线段和)的最值2(通辽中考)如图，抛物线yax2bx3交x轴于A(3，0)，B(1，0)两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上(1)求抛物线的解析式；(2)当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及PBC的周长解：(1)yx22x3(2)在 yx22x3 中，令 x0，得 y3，C(0，3)，PBC 的周长为 PBPCBC，BC 是定值，当 PBPC 最小时，PBC 的周长最小点 A，B 关于对称轴 l 对称，连接 AC 交 l 于点 P，则点 P 为所求的点点 P 在抛物线对
3、称轴上，点 P的横坐标为 1.APBP，PBC 周长的最小值是 PBPCBCACBC.A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，AC3 2，BC 10.设过点 A 和点 C 的解析式为 ykxt，t3，3kt0，直线 AC 的解析式为 yx3，将 x1 代入 yx3，得 y2，点 P 的坐标为(1，2)，PBC 周长的最小值是 3 2 10类型 3 构成特殊的三角形3(广东中考改编)如图，抛物线 yx2bx1 与 x 轴交于点 A，B(点 A 在点 B 的左侧)，交 y 轴于点 C，顶点为 D，对称轴为直线 x 3，连接 AC，BC.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点
4、E，使得 CDE 为等腰三角形？如果存在，请求出点 E 的坐标，如果不存在，请说明理由类型2 简单的分段函数的应用4(遵义中考)为增加农民收入，助力乡村振兴某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)(8x40)满足的函数图象如图所示(1)根据图象信息，求y与x的函数关系式；(2)求五一期间销售草莓获得的最大利润解：(1)yx22 3 x1(2)由(1)知 D(3，4)，C(0，1).设 E(3，t)，CDE 为等腰三角形，分三种情况：CDCE，393(t1)2，t2 或 t4，E(3，2)；C
5、DDE，39(t4)2，t2 3 4 或 t2 3 4，E(3，2 3 4)或 E(3，2 3 4)；CEDE，3(t1)2(t4)2，t2，E(3，2).综上所述得：CDE 为等腰三角形时，点 E 坐标为(3，2)或(3，2 34)或(3，2 3 4)或(3，2)4(广安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2bxc 的图象与坐标轴相交于 A，B，C 三点，其中点 A 坐标为(3，0)，点 B 坐标为(1，0)，连接 AC，BC.动点 P 从点 A 出发，在线段 AC 上以每秒 2 个单位长度向点 C 做匀速运动；同时，动点Q 从点 B 出发，在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度向
6、点 A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 PQ，设运动时间为 t 秒(1)求 b，c 的值；(2)在 P，Q 运动的过程中，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小，最小值为多少？(3)在线段 AC 上方的抛物线上是否存在点 M，使 MPQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)二次函数 yx2bxc 的图象经过点 A(3，0)，B(1，0)，则093bc，01bc，解得b2，c3(2)由(1)得：抛物线解析式为 yx22x3，C(0，3)，A(3，0)，OAC 是等腰直角三角形，BAC45，由点 P
7、 的运动可知：AP 2 t，过点 P 作 PHx轴，垂足为 H，如图，AHPH 2t2 t，即 H(3t，0)，又Q(1t，0)，S四边形 BCPQS ABCS APQ12 4312 3(1t)t12 t22t612(t2)24.当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC 3232 3 2，AB4，0t3，当 t2 时，四边形 BCPQ 的面积最小，最小值为 4(3)存在假设点 M 是线段 AC 上方的抛物线上的点，如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 x轴于点 E，过点 M 作 y 轴的垂线，与 EP 交于点 F，连接 MQ，MP.PMQ 是等腰直角三角形，PMPQ，MPQ90，MPFQ
8、PE90.又MPFPMF90，PMFQPE.在 PFM 和 QEP 中，FQEP，PMFQPE，PMPQ，PFMQEP(AAS)，MFPEt，PFQE42t，EF42tt4t.又OE3t，点 M 的坐标为(32t，4t)，点 M 在抛物线 yx22x3 上，4t(32t)22(32t)3，解得：t9 178或9 178(舍)，点 M 的坐标为(3 174，23 178)类型 4 构成特殊的四边形5如图，抛物线 y12 x2bxc 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，作直线BC，点 B 的坐标为(6，0)，点 C 的坐标为(0，6).(1)求抛物线的解析式，并写出其对称轴；(2
9、)若 E 为 y 轴上且位于点 C 下方的一点，P 为直线 BC 上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点 Q，使以 C，E，P，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 Q的横坐标；若不存在，请说明理由解：(1)y12 x22x6，对称轴为直线 x2(2)易得直线 BC 的解析式为 yx6，.当 CE 为菱形的一条边时，则 PQCE，设点 P(m，m6)，则点 Q(m，n)，则 n12 m22m6，由题意，得 CPPQ，即 2 mm6n，联立并解得 m62 2，n48 2，则点 Q(62 2，48 2)；.当 CE 为菱形的对角线时，则 PQCE，即 PQx 轴，设点 P(m，m6)，则点 Q(s，m6)，其中 m612 s22s6，则 PC 2 m，CQ2s2m2，由题意，得 CQCP，即(2 m)2s2m2，联立解得 m6(舍去)或2，故点Q(2，8).综上所述，点 Q(62 2，48 2)或(2，8)