1、1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 要点一 函数的零点1零点的定义使得_称为方程 f(x)0 的解，也称为函数 f(x)的零点2方程的根与函数零点的关系f(x0)0 的数 x0交点的横坐标零点要点二 零点存在定理若函数 yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条_的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即_0，则在开区间(a，b)内，函数 yf(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)0 至少有一个解连续f(a)f(b)状元随笔 (1)一个函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：函数 f(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)f(b)0.这两个条
2、件缺一不可可从函数 y1x来理解，易知 f(1)f(1)110，但显然 y1x在(1,1)内没有零点(2)零点存在定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数如图(1)(2)，虽然都有 f(a)f(b)0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有 4 个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有 1 个零点(3)零点存在定理是不可逆的，因为 f(a)f(b)0 可以推出函数 yf(x)在区间(a，b)内存在零点但是，已知函数 yf(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)f(b)0.(4)如果单调函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0
3、，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程 f(x)0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 yf(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)()(3)若 函 数 y f(x)在 区 间(a，b)上 有 零 点，则 一 定 有f(a)f(b)1 时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数 a 的取值范围是(1，)答案：(2)(1，)方法归纳 1确定函数零点个数的方法：结合零点存在定理和函数单调性；转化为两个函数图象的交点
4、个数2已知函数零点个数求参数范围的常用方法跟踪训练 1(1)函数 f(x)12xx32 在区间(1,0)内的零点个数是()A0 B1C2 D3解析：(1)因为函数 f(x)12xx32 为减函数，又 f(1)121(1)3210，f(0)120(0)3210.故函数 f(x)在区间(1,0)内的零点个数是 1.答案：(1)B(2)若函数 f(x)24ax24x1 在区间(1,1)内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是()A.18，524B.18，524 16C.18，0 0，524 D.16解析：(2)f(x)24ax24x1，f(0)10，x0 不是函数的零点当 x0 时，由 f(x)24
5、ax24x10.得 a14x24x2 1241x2161x 1241x2 216.令 t1x，则 t(，1)(1，)，令 g(t)124(t2)216，则 g(1)524，g(1)18，g(2)16.函数 f(x)24ax24x1 在区间(1,1)内恰有一个零点函数ya 的图象与函数 yg(t)，t(，1)(1，)的图象有且只有一个交点，由图可知，a18，524 16.答案：(2)B题型三 函数零点所在区间的判断微点探究微点 1 确定零点所在区间例 2 方程 log3x2x80 的解所在区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(5,6)解析：f(x)log3x82x，f(1)log31
6、8260，f(2)log32840，f(3)log338610，f(5)log3520，f(6)log3640，f(3)f(4)0，f00，f10，即1210a0，a0，35a0，解得12a0，f(4)3220 时，函数 f(x)ax2x1 为开口向上的抛物线，且 f(0)10，f(x)必有一个负实根，符合题意当 a0 时，x 12a0，f(0)10，14a0，即 a14.此时 f(x)14x2x1x21 20，x2，符合题意综上所述，a 的取值范围是 a0 或 a14.答案：14 0，)易错警示易错原因纠错心得 易漏掉 a0 的情况，得到错误答案：14(0，)函数 f(x)ax2x1 没说明是二次函数，也可能是一次函数，所以 a0 也是一种情况，求解时不要漏掉.