1、1.4不等关系及简单不等式的解法-2-知识梳理考点自诊=bbb,bc.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d.(4)可乘性:ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd.(5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).ac -4-知识梳理考点自诊3.三个“二次”之间的关系x|xx2或xx1 x|x1x0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min.4.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.-6-知识梳理考点自诊5.恰成立问题的转化:af(x)在M上恰成立af(x)的解集为另一转化方法:若x
2、D,f(x)A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值f(x)min=A;若xD,f(x)B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值f(x)max=B.注:例如“恒、能、恰”成立:x+10在x-5上是能成立的,在x-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1xbac2bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c0.()(4)不等式的解集是-1,2.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为R.()-8-知识梳理考点自诊2.设a,b,c,dR,且ab,cd,则下列结论中正确的是()B.a-cb-dC.acbdD.a+cb+dD
3、解析:a,b,c,dR,且ab,cd,根据同向不等式的可加性,得a+cb+d,故选D.-9-知识梳理考点自诊3.(2019上海崇明区一模,13)若a0bC.a2b2D.a3b3D 解析:因a0,所以选项A显然不成立;当a=-2,b=1时,选项B,C不成立;由a0b,得a30b3,故选D.-10-知识梳理考点自诊D5.(2019北京怀柔一模,13)设a,b,c是任意实数,能够说明“若cba且ac0,则abac”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.1,0,-1(答案不唯一)解析:由cba且ac0,可取a为正数,c为负数,由命题为假命题,得abac不成立,即ab0,所以a,b,c可取的一组分别为
4、1,0,-1.-11-考点1考点2考点3考点4比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.MNC.M=ND.不确定(2)若,则()A.abcB.cbaC.cabD.bacB B 考点5-12-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).a1(0,1),a2(0,1),a1-10,a2-10,即M-N0.MN.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.考点5-13-考点1考点2考点3考点4思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些?解题
5、心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.考点5-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.cbaB.acbC.cbaD.acb(2)已知a,b是实数,且eaba解析:(1)c-b=4-4a+a2=(a-2)
6、20,cb.又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2.b=a2+1.当xe时,f(x)0,f(x)在(e,+)内单调递减.eaf(b),考点5-15-考点1考点2考点3考点4不等式的性质及应用考点5例2(1)“ab0”是“a2+ab2+b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A(-,0)解析:(1)ab0,a2b2,a2+ab2+b.由a2+ab2+b,得a2-b2+a-b0,即(a-b)(a+b+1)0,ab且a+b+10或ab且a+b+1b0.故选A.-16-考点1考点2考点3考点4考点5思考已知某些量的范围,求由这些量组成的代数式的范围常
7、用不等式的哪些性质?解题心得1.已知某些量的范围,在求由这些量组成的代数式的范围时,常用不等式同向可加性、同向同正可乘性;2.在应用可乘方性时要注意应用的条件,当不等式两边异号时,平方后不等号不确定;-17-考点1考点2考点3考点4(2)已知-1x4,2y0.(2)若aR,解这个关于x的不等式.-20-考点1考点2考点3考点4考点5-21-考点1考点2考点3考点4考点5-22-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解.2.含有参数的不等式的求解,需要对参数进行分类讨论,讨论有三层:第一,若二次项系数含参数,先讨论二次项系数是否为零,以确
8、定不等式是一次不等式还是二次不等式;第二,当二次项系数不为零时,若不易分解因式,则依据判别式符号进行分类讨论;第三,对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.-23-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练3(1)若关于x的不等式x2-2ax-8a20的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,求实数a的值;(2)解关于x的不等式:ax2-22x-ax(aR).-24-考点1考点2考点3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点5考点4分式不等式的解法例4已知全集U=R,集合A=x|x-1|1,B=,则A(UB)=()A.x|1x2B.x|1x2C.x|1x2D.x|1x4C-26-考点1考点
9、2考点3考点5考点4思考解分式不等式的基本思路是什么?-27-考点1考点2考点3考点5考点4-28-考点1考点2考点3考点5考点4一元二次不等式恒成立问题(多考向)考向1主元x在R上恒成立求参数范围例5若一元二次不等式2kx2+kx-0对一切实数x都成立,则k的取值范围为()A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0)D-29-考点1考点2考点3考点4考点5考向2主元x在给定区间上恒成立求参数范围例6设对任意实数x-1,1,不等式x2+ax-3a0恒成立,则实数a的取值范围是()思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?B-30-考点1考点2考点3考点4考点5-31-考点1考点2考
10、点3考点4考点5-32-考点1考点2考点3考点4考点5考向3给定参数范围的恒成立问题例7已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.x|x3 解析:x2+(k-4)x+4-2k0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)0在k-1,1时恒成立.-33-考点1考点2考点3考点4考点52.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决.3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利
11、用新函数求解.-34-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)已知a为常数,xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是()A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是.B-1,+)-35-考点1考点2考点3考点4考点5-36-考点1考点2考点3考点4考点51.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等
12、式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解.4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.-37-考点1考点2考点3考点4考点55.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.-38-中
13、学阶段解不等式的基本思想是转化与化归思想,对于含有参数的不等式,还要用到分类讨论思想、函数与方程思想以及数形结合的思想.根据以上基本思想,同学们有必要探究以下几种不等式的解法,以提高自己的数学素养.-39-一不等式的解法例1解不等式:(x-1)(x+2)(x-3)0.解法一:(列表法):求得相应方程的根为-2,1,3.列表如下:-40-由上表可知,原不等式的解集为x|-2x3.小结:此法叫列表法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.由图可知,原不等式的解集为x|-2x3.-42-小结:此
14、法叫穿根法,解题步骤是:将不等式化为(x-x1)(x-x2)(x-xn)0(0”,则找“线”在x轴上方的区间;若不等式是“0”,则找“线”在x轴下方的区间.-43-例2解不等式:(x-2)2(x-3)3(x+1)0.解:检查各因式中x的符号均正.求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根).在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图.原不等式的解集为x|-1x2或2x3.说明:3是三重根,在C处穿三次,2是二重根,在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时,n为奇数时,曲线在x1点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x1点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶不穿”.-44-对点训练解不等式:(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0.解:将原不等式化为:(x-3)(x+1)(x+2)20.求得相应方程的根为-2(二重),-1,3.在数轴上表示各根并穿线,如图.原不等式的解集是x|-1x3或x=-2.说明:注意不等式若带“=”号,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿-2点,但x=-2满足“=”的条件,不能漏掉.-45-二无理不等式常见题型及等价转化:-46-47-48-归纳小结无理不等式的等价转化即由无理不等式转化为等价的有理不等式来求解,要求必须熟练掌握;其他解法要根据不等式的具体情况而定.