1、微专题48多变量表达式的范围数形结合一、基础知识：1、数形结合的适用范围：（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组（2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等）2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。二、典型例题例1：三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：先由减函数的
2、条件得到的关系，所以时，恒成立，通过二次函数图像可知：，由关于的不等式组可想到利用线性规划求得的取值范围，通过作图可得 答案：D例2：设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：首先考虑变形，若想得到的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由可得：，所以关于中心对称，即，所以：，利用单调递增可得：，所以满足的条件为，所求可视为点到原点距离的平方，考虑数形结合。将作出可行域，为以为圆心，半径为的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是，所以答案：C例3：已知函数是上的减
3、函数，函数的图像关于点对称，若实数满足不等式，且，则的取值范围是_思路：从所求出发可联想到与连线的斜率，先分析已知条件，由对称性可知为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：，即，所以有。再结合可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是答案：例4：已知是三次函数的两个极值点，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 思路：由极值点可想到方程的根，依题意可得：的两根分别在中，由二次函数图像可知：，且所求可视为与定点连线的斜率，所以想到线性规划，通过作出可行域，数形结合可知的范围是答案：A例5：已知实系数方程的三个根可以作为一椭圆，一双曲线，一抛物线的离心率，则的取值范围是_思路
4、：以抛物线离心率为突破口可得是方程的根，设，则，从而，进而因式分解可知，所以椭圆与双曲线的离心率满足方程，设，则由椭圆与双曲线离心率的范围可知一根在，一根在，所以，由不等式组想到利用线性规划求的范围，即可行域中的点与原点连线斜率的范围。通过作图即可得到答案：例6：已知三个正实数满足，则的取值范围是_思路：考虑将条件向与有关的式子进行变形，从而找到关于的条件：，可发现不等式组只与相关，不妨设，则不等式组转化为：即，所求恰好为的范围，作出可行域即可得到的范围为 答案：例7：设是不等式组表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为（ ）A4 B3 C5 D6思路：本题的变量较多，首先要确定核心
5、的变量。题目所求为的表达式。所以可视其为核心变量，若要求得的最值，条件需要关于的不等式组。所以考虑利用与的关系将原先关于的不等式组替换为关于的等式组即可解：设 ，代入到约束条件中可得：，作出可行域即可解出的最大值为 答案：A例8：若实数满足条件，则的取值范围是_思路：考虑所求式子中可变为，所以原式变形为：，可视为关于的二次函数，设，其几何含义为与连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即，则答案：小炼有话说：本题也可以考虑利用三角换元。设，从而原式转化为：，由可知的范围为例9：（2016，天津六校联考）已知实数满足，则的取值范围是_思路：由，可建立直角坐标系，建立圆模型：，则圆上的点为，所求分式可联想到斜率，即可视为两点连线的斜率。数形结合可得：过的直线与圆有公共点时斜率的取值范围，设，即，解得：答案：例10：（2012江苏）已知正数满足：，则的取值范围是_ 思路：可先将所给不等式进行变形：，从而将所给不等式转化为关于的关系，为了视觉效果可设，则已知条件为：，而所求为，即可行域中的点与连线的斜率。数形结合即可得到斜率的范围是，其中为与原点连线的斜率，为过原点且与曲线相切的切线斜率答案：小炼有话说：本题也可以用放缩的方法求得最值，过程如下：因为 另一方面：，设，则可得在单调递减，在单调递增 ，即，令，则有 综上所述：