1、第8讲曲线与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2015石家庄质检)已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)0的解”是正确的，给出下列命题：满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上；方程f(x，y)0是曲线C的方程；方程f(x，y)0所表示的曲线不一定是C.则上述命题中正确的序号是_解析曲线C可能只是方程f(x，y)0所表示的曲线上的某一小段，因此只有正确答案2设圆C与圆x2(y3)2 1外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为_解析设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y
2、0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线答案抛物线3(2015泰州模拟)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为_解析MN的中点为原点O，易知OPMN2，P的轨迹是以原点O为圆心，以r2为半径的圆，除去与x轴的两个交点答案x2y24(x2)4(2015珠海模拟)已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为_解析设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点A是线段RP的中点，即点R(x1，y1)在直线y2x4上，y12x14，y2(2x)4，即y2x.答案
3、y2x5已知两定点A(2,0)、B(1,0)，如果动点P满足PA2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为_解析设P(x，y)，由PA2PB，得2，3x23y212x0，即x2y24x0.P的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆即轨迹所包围的面积等于4.答案46若动点P在抛物线y2x21上运动，则点P与点A(0，1)所连线段的中点M的轨迹方程是_解析设M(x，y)，P(x0，y0)，M为PA中点，x，y.x02x，y02y1，代入y2x21，得y4x2.答案y4x27(2015天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足12(O为原点)，其中1，2R，且121
4、，则点C的轨迹是_解析设C(x，y)，因为12，所以(x，y)1(3,1)2(1,3)，即解得又121，所以1，即x2y5 ，所以点C的轨迹为直线答案直线8(2015南京模拟)P是椭圆1上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O为坐标原点，则动点Q的轨迹方程是_解析由于，又22，设Q(x，y)，则(，)，即P点坐标为(，)，又P在椭圆上，则有1上，即1.答案1二、解答题9设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程解设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1, y0)0，x0y0.由2得(xx0
5、，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.10已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O24，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线解如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系由O1O24，得O1(2,0)、O2(2,0)设动圆M的半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有MO1r1；由动圆M与圆O2外切，有MO2r2.MO2MO13.点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支a，c2，b2c2a2.点M的轨迹方程为1(x)能力提升题组(建议用
6、时：25分钟)1(2015合肥模拟)动点P在直线x1上运动，O为坐标原点以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是_解析设Q(x，y)，P(1，y0)，由题意知OPOQ，且0，y0代入得x2y212，化简即y21，y1，表示两条平行直线答案两条平行直线2已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是_解析圆的方程为x2y24.设P(x0，y0)，M(x，y)，则xx0，y，x0x，y02y.代入xy4，得x24y24，即y21.答案椭圆3(2015杭州模拟)坐标平面上有两个定点A，B和动点P，如果直线PA，P
7、B的斜率之积为定值m，则点P的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线试将正确的序号填在横线上：_.解析设A(a,0)，B(a,0)，P(x，y)，则m，即y2m(x2a2)当m1时，为圆；当m0时，为双曲线；当m0且m1时为椭圆；当m0时，为直线故选.答案4. (2015扬州调研)已知点C(1,0)，点A，B是O：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设P为弦AB的中点(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解(1)连接CP，OP，由0，知ACBC，CPAPBPAB，由垂径定理知OP2AP2OA2，即OP2CP29，设点P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化简，得x2xy24. (2)存在，根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y22px上，其中1.p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得x23x40，解得x11，x24，由x0，故取x1，此时y2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2).