1、4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教材要点要点 指数函数、对数函数、幂函数增长速度的比较当 a1 时，指数函数 yax 是_函数，并且当 a 越_时，其函数值的增长就越快当 a1 时，对数函数 ylogax 是_函数，并且当 a 越_时，其函数值的增长就越快当 x0，n1 时，幂函数 yxn 显然也是_函数，并且当 x1时，n 越_，其函数值的增长就越快增大增小增大状元随笔 指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，)上，尽管函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着 x 的增大，yax(a1
2、)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 yxn(n0)的增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x0，当 xx0，就有 logaxxn1)，yxn(x0，n1)和 ylogax(a1)都是增函数，且它们的增长速度是一样的()(3)函数 y2x 与函数 yx3 的图象有且只有两个交点()(4)指数函数一定比对数函数增长的快()2下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A一次函数 B幂函数C对数函数 D指数函数答案：C3四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d 所表示的函数可能是()Aa：y2x，b：yx2，c：y x，d：y2xBa：yx2，b：y2x，c
3、：y2x，d：y xCa：yx2，b：y2x，c：y x，d：y2xDa：yax，b：yx2，c：y2x，d：y x解析：根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c 对应的函数分别是幂指数大于 1 和幂指数大于 0 小于 1 的幂函数b，d 对应的函数分别为底数大于 1 和底数大于 0 小于 1 的指数函数答案：C4若 a1，n0，则当 x 足够大时，ax，xn，logax 中最大的是_解析：由指数函数、幂函数和对数函数增长快慢的差别易知，当 x 足够大时，axxnlogax.答案：ax题型一 函数增长快慢的比较师生共研例 1 已知函数 f(x)2x 和 g(x)x3 的图象如图
4、，设两个函数的图象相交于点 A(x1，y1)和 B(x2，y2)，且 x1x2.(1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数；(2)若x1a，a 1，x2b，b 1，且a，b1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，指出 a，b 的值，并说明理由解析：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C1 对应函数g(x)x3，C2 对应函数 f(x)2x.(2)依题意知 x1 和 x2 是使两个函数的函数值相等的自变量 x 的值当 xx3，即 f(x)g(x)；当 x1xx2 时，f(x)x2 时，f(x)g(x)因为 f(1)2，g(1)1，f(2)224，g(2)238，所以
5、x11,2，即 a1.又因为 f(8)28256，g(8)83512，f(8)g(8)，f(9)29512，g(9)93729，f(9)g(10)，所以 x29,10，即 b9.综上可知，a1，b9.方法归纳比较函数增长快慢的方法：(1)利用指数函数、幂函数、对数函数的不同的增长特点比较函数增长的快慢；(2)借助函数图象，通过图象特点以及变化趋势来比较函数的增长快慢；(3)通过计算相同区间上函数值的增量的大小来比较函数增长的快慢跟踪训练 1(1)下列所给函数，增长最快的是()Ay5x Byx5Cylog5x Dy5x解析：(1)在一次函数、幂函数、对数函数和指数函数中，增长最快的是指数函数 y
6、5x，故选 D.答案：(1)D(2)以下是三个函数 y1，y2，y3 随 x 变化的函数值列表：x12345678y13927812437292 1876 561y2182764125216343512y300.63011.2611.4651.6301.7711.892其中关于 x 成指数函数变化的函数是_解析：(2)指数函数中的增长量是成倍增加的，函数 y1 中增长量分别为 6,18,54,162,486,1 458,4 374，是成倍增加的，因而 y1呈指数变化答案：(2)y1题型二 根据函数的不同增长特点比较大小自主完成1设 alog 13 2，blog23，c120.3，则()Aabc
7、 BacbCbca Dbac解 析：由 已 知 结 合 对 数 函 数 图 象 和 指 数 函 数 图 象 得 到a0,0c1，因此选 B.答案：B2比较下列各组数的大小：(1)2334 与3423；(2)0.32，log20.3,20.3；(3)1412，1214，142.解析：(1)函数 y123x 为 R 上的减函数，且3423，2323 2334.函数 y2x23在(0，)上是单调递增的，且3423，3423 2323，3423 2334.(2)令函数 y1x2，y2log2x，y32x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图象如图，然后作直线 x0.3，此直线必与上述三个函数图象相交由图
8、象知 log20.30.32f14 h14，即1214 1412 142.方法归纳(1)比较函数值大小的关键在于构造恰当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，则需引入中间量(2)将函数值涉及的函数的图象在同一直角坐标系中画出来，通过图象位置之间的关系比较大小题型三 函数不同增长特点在实际问题中的应用师生共研例 2 某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且资金 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过 5
9、 万元，同时资金不超过利润的 25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型符合该公司要求？解析：借助计算器或计算机作出函数 y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x 在第一象限的图象如图所示：观察图象发现，在区间10,1 000上，模型 y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在 y5 的上方，这说明只有按模型 ylog7x1进行奖励才符合公司要求，下面通过计算确认上述判断首先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万元对于模型 y0.25x，它在区间10,1 000上是单调递增的，当x(20,1 000时，y5，因此该模型不符合要求对于模型 y
10、1.002x，利用计算器，可知 1.0028065.005，由于y1.002x 在(，)上是增函数，故当 x(806,1 000时，y5，因此，也不符合要求对于模型 ylog7x1，它在区间10,1 000上是单调递增的，且当 x1 000 时，ylog71 00014.555，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求再计算按模型 ylog7x1 奖励时，奖金是否超过利润 x 的25%，即当 x10,1 000时，利用计算器或计算机作 f(x)log7x10.25x 的图象(图略)，由图象可知 f(x)在10,1 000上是单调递减的，因此 f(x)f(10)0.316 70，即 log7x1
11、0.25x.所以当 x10,1 000时，y2)若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选_作为模拟函数，若 f(1)4，f(3)6，则所选函数 f(x)的解析式为_解析：由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是 f(x)(x1)(xq)2p，当 x1 时，y4 且 x3 时，y6.4p，23q2p6.故p4，q4.答案：f(x)(x1)(x4)24易错辨析 忽视函数 yx2 与 y2x 的增长趋势致误例 3 函数 yx2 与 y2x 的交点坐标是_解析：根据函数 yx2 与 y2x 的图象可知交点坐标是：(2,2)，(4,16)答案：(2,2)，(4,16)易错警示易错原因纠错心得 忽视函数 yx2 与 y2x的增长趋势，粗略画出图象得交点坐标(2,2)，漏掉了(4,16).根据函数 yx2 与 y2x的增长趋势，准确画出图象，才能发现交点有两个.
