1、高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第83讲 极坐标方程与参数方程的综合应用1进一步掌握极坐标、参数方程的基本知识 2通过极坐标与参数方程的综合应用，提高综合运用知识的能力 1(经典真题)已知直线 l 的参数方程为x1t，y1t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos24(0，34 54)，则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 .|课前预习|解：由x1t，y1t，得 xy20，则 cos sin 20.由 2cos 24 得 2cos22sin24.所以 cos 2，sin 0.又 0，34 54，所以，2.所以直线 l
2、 与曲线 C 的交点的极坐标为(2，)答案:(2，)2(经典真题)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的极坐标方程为(sin 3cos)0，曲线 C 的参数方程为xt1t，yt1t(t为参数)，l 与 C 相交于 A，B 两点，则|AB|.答案：2 5解：由(sin 3cos)0，得 sin 3cos，则 l 的方程为 y3x.由 xt1t，yt1t，得 y2x24.由y3x，y2x24，)可得x 22，y3 22或x 22，y3 22，不妨设 A(22，3 22)，则 B(22，3 22)，故|AB|22 22 23 22 3 22 22 5
3、.【例1】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x2cos，y22sin (为参数)M是C1上的动点，P点满足OP 2OM，P点的轨迹为曲线C2.(1)求C2的方程；(2)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.解：(1)设 P(x，y)，M(x1，y1)，则由OP 2OM，得(x，y)2(x1，y1)，所以 x1x2，y1y2，由于 M 点在 C1 上，所以x22cos，y222sin.即x4cos，y44sin.从而 C2 的参数方程为x4cos，y44sin (为参数)(2)曲线 C1 的极坐标方程为
4、4sin，曲线 C2 的极坐标方程为 8sin.射线 3与 C1 的交点 A 的极径为 14sin3，射线 3与 C2 的交点 B 的极径为 28sin3.所以|AB|21|2 3.【变式探究】1(2016全国卷)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；(2)直线 l 的参数方程是xtcos，ytsin(t 为参数)，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|10，求 l 的斜率 解：(1)由 xcos，ysin 可得圆 C 的极坐标方程为 212cos 110.(2)(方法 1)由直线 l 的参数
5、方程xtcos，ytsin(t 为参数)，消去参数得 yxtan.设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 kxy0.由圆 C 的方程(x6)2y225 知，圆心坐标为(6,0)，半径为 5.又AB 10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|6k|1k225 102 2，即 36k21k2904，整理得 k253，解得 k 153，即 l 的斜率为 153.(方法 2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为(R)设 A，B 所对应的极径分别为 1，2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110，于是 1212cos，1211.|AB|12|122412
6、 144cos244.由|AB|10得 cos238，tan 153.所以 l 的斜率为 153 或 153.点评：(1)求曲线参数方程的关键是寻找曲线点任意一点与参数的关系，求曲线的极坐标方程的关键是寻找 与 的关系，其思想方法与在直角坐标系下求方程类似(2)利用互化可以充分利用各类方程(直角坐标方程、极坐标方程；普通方程与参数方程)的优势，如在直角坐标系下便于处理的问题，可化为直角坐标进行求解，然后再转化为所需要的形式；若在极坐标、参数方程形式下好处理的问题，也可转化为极坐标、参数方程进行求解【例 2】已知曲线 C1 的参数方程是x2cos，y3sin(为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的
7、正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为(2，3)(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围 解：(1)由已知可得 A(2cos3，2sin3)，B(2cos(32)，2sin(32)，C(2cos(3)，2sin(3)，D(2cos(332)，2sin(332)，即 A(1，3)，B(3，1)，C(1，3)，D(3，1)(2)设 P(2cos，3sin)，令 S|PA|2|PB|2|PC|2|P
8、D|2，则 S16cos236sin2163220sin2.因为 0sin21，所以 S 的取值范围是32,52【变式探究】2 (经 典 真 题)在 直 角 坐 标 系 xOy 中，曲 线 C1：xtcos，ytsin(t 为参数，t0)，其中 0.在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0，曲线C3的直角坐标方程为x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22
9、3x0，解得x0，y0，或x 32，y32.所以C2与C3的交点的直角坐标为(0,0)和(32，32)(2)曲线C1的极坐标方程为(R，0)，其中00，得 a38.t1t25，t1t22516(18a)因为|PA|3|PB|，所以 t13t2 或 t13t2，当 t13t2 时，t1t24t25，t1t23t2225（18a）16，所以 3(t1t2)216t1t2，所以 35225(18a)，解得 a1438.当 t13t2 时，t1t22t25，t1t23t222516（18a），所以3(t1t2)24t1t2，所以352254(18a)，解得 a138 38.综上，所求 a 的值为138
10、 或14.点评：过定点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程标准形式为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，运用直线的参数方程时，要注意如下问题：(1)t 的几何意义：|t|表示直线上的点 P 到点 P0 的距离(2)若直线上任意两点 P1，P2 对应的参数为 t1，t2，则|P1P2|t1t2|；P1P2 的中点对应的参数为12(t1t2)点评：(3)对于参数方程形如xx0at，yy0bt(t 为参数)的直线，当 a2b21 时应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用各类方程的相互转化是求解该类问题的前提 解决问题时要注意：(1)解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式(2)应用解析法解决实际问题时，要注意是选取直角坐标系还是极坐标系建立极坐标系时，要注意选择极点、极轴的位置，还要注意“点和极坐标”的“一对多”的特性(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点 P(，)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦定理、余弦定理的应用，圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题(4)参数方程与普通方程表示同一曲线时，要注意其中 x，y 的取值范围，即注意两者的等价性 点击进入WORD链接
