1、第三节基本不等式命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件本节通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第126页知识点基本不等式1基本不等式（1）基本不等式成立的条件：a0，b0（2）等号成立的条件：当且仅当ab时取等号（3）其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2（简记：积定和最小）（2）如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时
2、，xy有最大值是（简记：和定积最大） 温馨提醒 二级结论1三个重要的结论（1）（2）2（ab0）（3） （a0，b0）2利用基本不等式求最值的两个常用结论（1）已知a，b，x，y为正实数，若axby1，则有（axby）abab2（）2（2）已知a，b，x，y为正实数，若1，则有xy（xy）abab2（）2必明易错1使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2“当且仅当ab时等号成立”的含义是“ab”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误3连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致1（易错题）下列结论正确的个数为（）函数yx的最小值是2；
3、函数f（x）cos x，x的最小值等于4；“x0且y0”是“2”的充要条件；若a0，则a3的最小值为2；不等式a2b22ab与有相同的成立条件A0B1C2 D3解析：当x0时，y2，故错误；cos x不可能为2，所以等号不可能成立，故错误；当x0且y0时，不等式2也成立，故错误；2不是定值，故错误；a2b22ab对于a，bR都成立，而只有当a0，b0才成立，故错误答案：A2设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为（）A80 B77C81 D82解析：x0，y0，xy，xy81，当且仅当xy9时取等号，xy的最大值为81答案：C3（2021济宁调研）若正数x，y满足1，则x3y的最小值为（）A
4、24 B18C12 D6解析：由1得x3y（x3y）62612，当且仅当，且1，即x6，y2时等号成立，所以x3y的最小值为12答案：C4若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则xy10，所以矩形场地的面积Sxy25，当且仅当xy5时，S取得最大值25 m2答案：25授课提示：对应学生用书第127页题型一利用基本不等式求最值利用基本（均值）不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容常见的命题角度有：（1）通过配凑法求最值；（2）通过常数代
5、换法求最值；（3）通过消元法求最值考法（一）通过配凑法求最值例1（1）已知0x1，则x（43x）取得最大值时x的值为；（2）函数y（x1）的最小值为_解析（1）x（43x）（3x）（43x），当且仅当 3x43x，即x时，取等号（2）y（x1）222当且仅当（x1），即x1时，等号成立答案（1）（2）22代数式最值的求解方法配凑法配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件考法（二）通过常数代换法求最值例2（
6、2021湖北八校联考）已知x0，y0，且1，则xy的最小值为（）A12B16C20 D24解析法一：由题意xy（xy）1912916，当且仅当时取等号法二：由1得9xyxy0，即（x1）（y9）9，可知x1，y9，所以xy（x1）（y9）1021016，当且仅当即时取等号答案B常数代换法求最值的步骤（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）（2）把确定的定值（常数）变形为1（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式（4）利用基本不等式求解最值考法（三）通过消元法求最值例3（1）（2021上饶联考）已知正数a，b，c满足2abc0，则的最大值为（）A8B2 CD（2
7、）已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_解析（1）因为a，b，c都是正数，且满足2abc0，所以b2ac，所以，当且仅当c2a0时等号成立（2）由x22xy30，得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3答案（1）C（2）3消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解题组突破1（2021正定期中测试）若正实数a，b满足，则ab的最小值为（）A B2C2 D4解析：2，当且仅当b2a时等号成立，ab2，ab的最小值为2答案：C2若a0，b0，lg alg b
8、lg（ab），则ab的最小值为（）A8 B6C4 D2解析：由lg alg blg（ab），得lg（ab）lg（ab），即abab，则有1，所以ab（ab）2224，当且仅当ab2时等号成立，所以ab的最小值为4答案：C3（2021阜阳模拟）若直线1（a0，b0）过点（1，1），则ab的最小值为_解析：因为直线1（a0，b0）过点（1，1），所以1，所以b0，所以a1，所以ab（a1）2426，当且仅当a3时等号成立，所以ab的最小值是6答案：6题型二基本不等式的实际应用例（2021泰安调研）某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件（1）据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少
9、1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入（x2x）万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？解析（1）设商品的销售价格提高a元，则（10a）（5a）50，解得0a5所以商品的价格最多可以提高5元（2）由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx（x2x）50（x5）即可，此时
10、mx2，当且仅当x，即x10时，取“”故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和利用基本不等式求解实际问题的两个注意点（1）利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解对点训练如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大
11、？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高15米，造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？解析：设APx米，AQy米（1）xy200，APQ的面积Sxysin 120xy所以S2 500当且仅当即xy100时取“”即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大（2）由题意得100（x15y）20 000，即x15y200要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以PQ2x2y22xycos 120x2y2xy（20015y）2y2（20015y）y175y2400y40 000175，当y时，PQ有最小值，此时x即AP长为米，AQ长为
12、米时，可使竹篱笆用料最省基本不等式应用中的核心素养数学运算基本不等式的创新交汇问题基本不等式求最值涉及交汇知识较多，应用广泛，多涉及三角向量、数列、立体几何、解析几何等最值与范围的求法例如图，在ABC中，2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若m，n（m，nR），则mnm的最小值为（）A1BC D2解析连接AM（图略），由题知，m，n，且Q，P，M三点共线，所以存在实数使得（1），即有（1）mn，所以（1）m，n，解得m，n因为点M在点P，Q之间，所以（0，1），所以mnm2，当且仅当13，即时等号成立，mnm取得最小值2答案D题组突破1（2021吉安期末测试）已知函数f（x），则f（x）的最大值为_解析：设tsin x2，则t1，3，则sin2x（t2）2，则g（t）t4（1t3），由“对勾函数”的性质可得g（t）在1，2）上为减函数，在（2，3上为增函数，又g（1）1，g（3），所以g（t）maxg（1）1即f（x）的最大值为1答案：12设等差数列an的公差是d，其前n项和是Sn，若a1d1，则的最小值是_解析：ana1（n1）dn，Sn，所以，当且仅当n4时取等号所以的最小值是答案：