1、第一节数列的概念与简单表示法命题分析预测学科核心素养本节是高考的热点，主要考查：(1)由数列的递推关系求通项公式；(2)由an与Sn的关系求通项公式；(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度不大本节通过an与Sn的关系以及递推数列考查考生的数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养授课提示：对应学生用书第102页知识点数列的有关概念及表示1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与n之间的关系能用公式anf(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列an中，Sna1a2an
2、叫做数列的前n项和2数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图像法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示数列的方法 温馨提醒 二级结论1若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2在数列an中，若an最大，则若an最小，则必明易错1易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成anSnSn1的形式，但它只适用于n2的
3、情形1已知数列an为，1，则可作为数列an的通项公式的是()AanBanCan Dan解析：由，归纳得an答案：C2(2021郑州模拟)已知数列的通项公式为ann28n15，则()A3不是数列an中的项B3只是数列an中的第2项C3只是数列an中的第6项D3是数列an中的第2项或第6项解析：令an3，即n28n153，解得n2或n6，故3是数列an中的第2项或第6项答案：D3根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_答案：5n44(易错题)已知Sn2n3，则an_解析：因为Sn2n3，那么当n1时，a1S12135；当n2时，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)
4、由于a15不满足(*)式，所以an答案：授课提示：对应学生用书第103页题型一由an与Sn的关系求通项公式1已知数列an的前n项和Snn22n1（nN），则an_解析：当n2时，anSnSn12n1；当n1时，a1S14211因此an答案：2已知数列an的前n项和Snan，则an的通项公式为an_解析：当n1时，a1S1a1，所以a11当n2时，anSnSn1anan1，所以，所以数列an为首项a11，公比q的等比数列，故an答案：3已知各项均为正数的数列bn的首项为1，且前n项和Sn满足SnSn1（n2），求数列bn的通项公式解析：因为SnSn1（n2），所以（）（）（n2）又0，所以1（n
5、2），又1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列所以1（n1）1n，故Snn2当n2时，bnSnSn1n2（n1）22n1当n1时，b11符合上式，所以bn2n1（nN）1已知Sn求an的三个步骤（1）先利用a1S1求出a1；（2）用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1（n2）便可求出当n2时an的表达式；（3）注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并2Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化（1）利用anSnSn1（n2）转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解；（2）利用SnSn1an（n2）转化为只含an，an1的关系式，再
6、求解题型二由递推关系求数列的通项公式考法（一）累加法例1设数列an满足a11，且an1ann1（nN），求数列an的通项公式解析由题意有a2a12，a3a23，anan1n（n2）以上各式相加，得ana123n又因为a11，所以an（n2）因为当n1时也满足上式，所以an（nN）根据形如an1anf（n）（f（n）是可以求和的）的递推公式求通项公式时，常用累加法求出ana1与n的关系式，进而得到an的通项公式考法（二）累乘法例2在数列an中，a11，anan1（n2），求数列an的通项公式解析因为anan1（n2），所以an1an2，an2an3，a2a1以上（n1）个式子相乘得ana1当n1
7、时，a11，上式也成立所以an（nN）根据形如an1anf（n）（f（n）是可以求积的）的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式考法（三）构造法例3（1）已知数列an满足a12，an1（nN），求an_（2）已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解析（1）因为an1，所以因为a12，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以（n1），故an（2）因为an13an2，所以an113（an1），所以3，所以数列an1为等比数列且公比q3，又a112，所以an123n1，所以an23n11（nN）答案（1）（2）见解析1形如an1（p，q，r
8、是常数）的数列，将其变形为若pr，则是等差数列，且公差为，即可用公式求通项2根据形如an1panq的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列anx，即将原递推关系式化为an1xp（anx）的形式，再求出数列anx的通项公式，最后求an的通项公式对点训练根据下列条件，求解数列an的通项公式（1）a12，an1anln；（2）a1，anan1（n2）；（3）a1，an1an；（4）a11，an解析：（1）因为an1anln，所以an1anln，所以anan1ln（n2），an1an2ln，a2a1ln所以ana1lnlnlnln n（n2），即anln n2（n2）又a12，适合此等式
9、所以anln n2（2）因为anan1（n2），所以当n2时，所以，以上n1个式子相乘得，即21，所以an当n1时，a1，也与已知a1相符，所以数列an的通项公式为an（3）在an1an两边分别乘以2n1，得2n1an1（2nan）1令bn2nan，则bn1bn1，根据待定系数法，得bn13（bn3）所以数列bn3是首项为b1323，公比为的等比数列所以bn3，即bn32于是，an32（4）取倒数，得3所以是等差数列，3（n1）13（n1）an数列性质应用中的核心素养逻辑推理数列性质的创新应用例若存在常数k（kN，k2），q，d，使得无穷数列an满足an1则称数列an为“段比差数列”，其中常数
10、k，q，d分别叫做段长、段比、段差设数列bn为“段比差数列”，若bn的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，则b2 019（）A3B4C5D6解析法一：bn的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，b2 0170b2 0160，b2 018b2 01733，b2 019b2 01836故选D法二：bn的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0，3，b11，b24，b37，b40b30，b5b433，b6b536，b70b60，当n4时，bn是周期为3的周期数列b2 019b66故选D答案D1解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值2求解数列新定义问题关键是抓住信息条件，转化求解对点训练若数列an满足a2a1a3a2anan1，则称数列an为“差半递增”数列若数列an为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满足Sn2an2t1（nN），则实数t的取值范围是_解析：由题知，Sn2an2t1，当n1时，a12a12t1，得a112t；当n2时，Sn12an12t1，并化简，得an2an1，故数列an是以a112t为首项，2为公比的等比数列，则an（12t）2n1，所以anan1（12t）2n1（12t）2n2（36t）2n3，因为数列an为“差半递增”数列，所以36t0，解得t答案：