1、1 对数的概念 教材要点要点一 对数的概念一般地，如果a(a0，且a1)的b次幂等于N，即abN，那么数b叫作以a为底N的对数，记作_其中a叫作对数的_N叫作_logaNb 底数真数状元随笔 对数式与指数式之间的关系：(1)指数式abN与对数式blogaN(a0,a1，N0)是等价的，它们表达的是a，b，N三者之间的同一种关系但a，b，N在两个式子中的名称是不相同的(如下表)：名称 式子axN 指数式axN底数指数幂对数式xlogaN底数对数真数(2)由于在指数式abN中，有a0，且a1，因此在对数式blogaN中也要求a0，且a1.(3)并非所有的指数式都能直接改为对数式，如(2)24不能改
2、写为log242.只有在a0，a1，N0时，才有abNblogaN.要点二 对数恒等式 alogaN_.要点三 两类特殊的对数(1)常用对数：通常以_为底的对数称之为常用对数，N的常用对数_，简记为_(2)自然对数：以_为底的对数称之为自然对数，N的自然对数_，简记为_(其中_2.71828)N10log10Nlg N无理数e logeNln N无理数e教材答疑 教材P96思考交流1对于任意的a0且a1，loga10，logaa1，loga1a1.2若a0，且a1.由对数的定义知Nax(a0且a1)，而ax0，N0.基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)因为(2)24，所以lo
3、g242.()(2)log34与log43表示的含义相同()(3)0的对数是0.()(4)lg N是自然对数()2把指数式 abN 化为对数式是()AlogbaN BlogaNbClogNba DlogNab解析：根据对数定义知 abNlogaNb.答案：B3对数式 xln 2 化为指数式是()Axe2 Bex2Cx2e D2xe解析：xln 2loge2，ex2.答案：B4有以下三个说法：(1)lg(lg 10)0；(2)若 10lg x，则 x10；(3)ln(ln e)0.其中正确的序号是_解析：lg(lg 10)lg 10；ln(ln e)ln 10，故(1)，(3)正确若10lg x
4、，则 x1010，故(2)错误答案：(1)(3)题型一 对数式与指数式的互化自主完成1完成下表指数式与对数式的转换题号指数式对数式(1)1031 000(2)log392(3)log210 x(4)e3x解析：(1)1031 000log101 0003，即 lg 1 0003；(2)log392329；(3)log210 x2x10；(4)e3xlogex3，即 ln x3.答案：(1)lg 1 0003(2)329(3)2x10(4)ln x32.将下列各指数式与对数式进行互化：(1)23294；(2)812 2 2；(3)log 14 162；(4)ln x13.解析：(1)23294，
5、log 23942；(2)812 2 2，log82 212；(3)log 14 162，14216；(4)ln x13，e13 x.方法归纳 对数式和指数式互化的几个注意点：(1)指数式与对数式只有在满足底数大于 0 且不等于 1 时，才可以相互转化(2)把指数式改写成对数式时，指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置，指数式的指数变为对数式中的对数，指数式中的幂值变为对数式中的真数(3)在进行指数式与对数式的互化时，一定要保证对数式中的真数大于 0.(4)注意常用对数与自然对数的表示方法题型二 对数恒等式的应用师生共研例 1 求下列各式的值：(1)lg 1 000；(2)ln e；(3)lo
6、g224；(4)331log 6；(5)1255log 3.解析：(1)因为 1031 000，所以 lg 1 000log101 0003；(2)因为 e12 e，所以 ln eloge e12；(3)设 log224x，则(2 2)x4，即 23x2 22，所以32x2，x43，故 log22443；(4)331log 6333log 6 3618；(5)125 5log 3 1525log 3(52)5log 3 552log 3525log 33219方法归纳(1)利用对数的定义可以求对数值，这时通常是先将对数式化为指数式，再利用指数的有关运算转化为同底数的幂的形式，从而列出方程，求出
7、结果(2)注意特殊对数值的应用若 logaN0，则必有 N1；若 logaN1，则必有 aN.(3)在计算含有形如“alogaN m”的题目时，首先借助指数幂的运算性质，使其变形为 alogaN m alogaN am，然后借助对数恒等式alogaNN 及指数幂的运算性质求值跟踪训练 1(1)若 log3(lg x)1，则 x_；(2)求值：4221(log 9-log 5)2_.解析：(1)log3(lg x)1，lg x3.x1031 000.(2)原式222(log 9log 5)95.答案：(1)1 000(2)95题型三 由对数的概念求参数范围师生共研例 2 已知 blog(a2)(5a)，则实数 a 的取值范围是()Aa5 或 a2 B2a5C2a3 或 3a5 D3a0，a20，a21，得 2a3 或 3a0，x11，x10得 x1 且 x0，x1.易错辨析 忽视对数的限制条件致误例 3 已知 log(x3)(x23x)1，则实数 x 的值为_解析：由对数的性质，知x23xx3x23x0 x30且x31解得 x1.答案：1易错警示易错原因纠错心得 忽视对数的真数和底数的限制，直接由 x23xx3 得 x1 或 x3，得到了错误答案.由对数的定义可知，对数 logaN的底数 a0 且 a1，真数0，解题时一定要注意这些限制条件，否则容易出错.