1、第三章 导数及其应用 第一节导数的概念与计算1导数的概念(1)平均变化率一般地，函数 f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.fx2fx1x2x1(2)函数 yf(x)在 xx0 处的导数定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x无限趋近于 0 时，此值yx 无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0 处，并称该常数 A为函数 f(x)在 xx0 处的，记作fx0 xfx0 x可导f(x0)导数几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点处的相应地，切线方程为(3)函数 f(x)的导函数若 f(x)对于区间(a，b)内任
2、一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数(x0，f(x0)切线的斜率yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函数的导数公式(sin x)，(cos x)，(ax)，(ex)，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)fxgx (g(x)0)cos xsin xaxln aex1xln a1xf(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx21(教材习题改编)一次函数 f(x)kxb 在区间m，n上的平均变化率为_解析：由题意得函数
3、f(x)kxb 在区间m，n上的平均变化率为fnfmnmk.答案：k2(教材习题改编)如图，函数 yf(x)的图象在点 P 处的切线方程是 yx5，则 f(3)_，f(3)_.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为1.答案：2 13设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(x)xln x，则 f(1)_.解析：由 f(x)xln x(x0)，知 f(x)11x，所以 f(1)2.答案：24(2015天津高考)已知函数 f(x)axln x，x(0，)，其中 a 为实数，f(x)为 f(x)的导函数若 f(1)3，则 a 的值为_解析：f(x)aln xx1x a(1ln x)由于 f(1)a
4、(1ln 1)a，又 f(1)3，所以 a3.答案：31利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足 f(x)2xf(e)ln x，则 f(e)_.解析：对关系式 f(x)2xf(e)ln x 两边求导，得 f(x)2f(e)1x，令xe，得f(e)2f(e)1e，所以f(e)1e.答案：1e2已知 f(x)x23xf(2)，则 f(2)_.解析：
5、因为 f(x)2x3f(2)，所以 f(2)43f(2)，所以 f(2)2，所以 f(x)x26x，所以 f(2)22628.答案：83已知定义在 R 上的函数 f(x)exx2xsin x，则曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程是_解析：令 x0，得 f(0)1.对 f(x)求导，得 f(x)ex2x1cos x，所以 f(0)1，故曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 yx1.答案：yx1考点一 导数的运算基础送分型考点自主练透题组练透求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex；(4)y11 x11 x.解：(1)y(x2)s
6、in xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)yln x1x(ln x)1x 1x 1x2.(3)ycos xexcos xexcos xexex2 sin xcos xex.(4)y11 x11 x 21x，y21x 21x1x221x2.谨记通法求函数导数的 3 种原则考点二 导数的几何意义常考常新型考点多角探明命题分析导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值题点全练角度一：求切线方程1(2016南通调研)已知 f(x)x32x2x6，则
7、 f(x)在点 P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：f(x)x32x2x6，f(x)3x24x1，f(1)8，故切线方程为 y28(x1)，即 8xy100，令 x0，得 y10，令 y0，得 x54，所求面积 S125410254.答案：254角度二：求切点坐标2若曲线 yxln x 上点 P 处的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是_解析：由题意得 yln xx1x1ln x，直线 2xy10 的斜率为 2.设 P(m，n)，则 1ln m2，解得 me，所以 neln ee，即点 P 的坐标为(e，e)答案：(e，e)角度三：求参数的值3(2016南京外国
8、语学校检测)已知函数 f(x)x4ax2bx，且 f(0)13，f(1)27，则 ab_.解析：f(x)4x32axb，由f013，f127 b1342ab27，a5，b13，ab18.答案：18方法归纳导数几何意义的应用的 2 个注意点(1)当曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于 x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是 xx0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线方程是 yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(十三)”(单击进入电子文档)