1、4.3 一元二次不等式的应用 教材要点要点 利用不等式解决实际问题的一般步骤一元二次不等式的实际应用用不等式解实际应用题的步骤如下：(1)设未知数用字母表示题中的未知数；(2)列不等式(组)找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)解不等式(组)运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围；(4)答规范地写出答案状元随笔 利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言，符号语言，图形语言”并用，而且不少应用题文字叙述篇幅较长阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问
2、题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)不等式axbcxd0与不等式(axb)(cxd)0同解()(2)不等式ax2bxc0恒成立的条件为0.()(3)不等式ax
3、2bxc0恒成立的条件为0.()(4)用不等式解决实际问题的关键是求解列出的不等式()2不等式x2x10的解集是()A(，1)(1,2 B1,2C(，1)2，)D(1,2)解析：原不等式等价于(x2)(x1)0，解得1x0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为()Aa12Ba12或a12D12a0对一切实数x都成立，则a0014a212，所以实数a的取值范围是a12.故选C.答案：C4一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数关系已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6 050元若这家工
4、厂希望利用这条流水线创收达到6 000元及以上则它应该生产的摩托车数量至少是_辆解析：由题意，求出摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数为y2x2220 x，则2x2220 x6 000，解得50 x60，所以答案为50辆答案：50题型一 简单的分式不等式的解法师生共研例1 解不等式：(1)3xx70；(2)x1x22.先把分式不等式化为标准分式不等式，再转化为整式不等式进行求解解析：(1)由 3xx7 0，此不等式等价于(x3)(x7)0，解得x3.所以原不等式的解集是x|x3(2)移项得x1x220，左边通分并化简得x5x2 0，即x5x20，此不等式等价于x5x20，x2
5、0，解得x2或x5.所以原不等式的解集是x|x0在R上恒成立，求实数a的取值范围需讨论a0和a0两种情况当a0时，要使不等式在R上恒成立，只需a0，且对应的一元二次方程的判别式0，解集不为R，所以a0不满足题意，舍去；当a0时，要使原不等式的解集为R，只需a0，2242a12.综上所述，实数a的取值范围为12，.变式探究 本例改为：不等式(a2)x22(a2)x40的解集为R，则实数a的取值范围是_解析：不等式(a2)x22(a2)x40的解集为R等价于不等式(a2)x22(a2)x40在R上恒成立当a20时，a20，4a224a240 a2，a242a2.当a20即a2时，40恒成立，综上所
6、述，20(a0)或ax2bxc0对一切xR恒成立a0，且b24ac0；(2)f(x)0对一切xR恒成立a0，且b24ac0(a0)在m，n上恒成立f(x)min0，xm，n0或 b2a0或 b2anfn0；(4)f(x)0)在m，n上恒成立f(x)max0，xm，nf(m)0且f(n)0(0恒成立，则m的取值范围是_解析：依题意，得m241 m2 0，即m22m0，解得0m2.答案：(0,2)题型三 一元二次不等式在实际问题中的应用师生共研例3 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本若每个蛋糕成本增加的
7、百分率为x(0 x1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润(出厂价成本)日销售量，且设增加成本后的日利润为y，为使日利润有所增加，求x的取值范围先建立日利润y与成本增加的百分率x之间的函数关系，再根据题意列出不等式，进行求解解析：由题意，得y60(10.5x)40(1x)1 000(10.8x)2 000(4x23x10)(0 x60401 000，0 x0，0 x1，解得0 x34.所以为使日利润有所增加，x的取值范围为0，34.方法归纳 解决这类实际问题的关键是把文字语言转换成数学语言，在转换成数学语言时，应先把复杂问题拆解成若
8、干个简单问题，再通过各个突破，使问题得以解决另外，解不等式时还要注意未知数的实际含义跟踪训练3 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解析：设花卉带的宽度为x m(0 x300)，则草坪的长为(8002x)m，宽为(6002x)m，所以草坪的面积为(8002x)(6002x)m2.依题意有(8002x)(6002x)12800600，所以(400 x)(300 x)60 000，整理得x2700 x60 0000.解得x100或x600，又因为0 x300，所以x的取值范围是0 x100.答：花卉带宽度的范围应是(0,100 m.易错辨析 忽视分式不等式分母不能为0致误例4 不等式x5x12的解集为_解析：x5x1 2 x5x1 20 7xx1 0 x7x1 0 x7x10，x10解得：1x7，故原不等式的解集为(1,7答案：(1,7易错警示易错原因纠错心得 误认为x7x10(x7)(x1)0，解得1x7，得错误答案：1,7.解形如axbcxd0(0)的分式不等式时，转化为(axb)(cxd)0(0)时，一定不要忘记cxd0.