1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)应 用 举 例 (25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不一定能确定A,B间距离的是()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b【解析】选A.选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.选项A中利用正弦定理求时可能会有两解,故选A.2.已知ABC的外接圆的半径为2,设其三边长为a,b,c,若abc=16,则三角形的面积为
2、()A.1B.2C.2D.4【解题提示】根据正弦定理用上外接圆的半径,由此选择三角形的面积公式求解.【解析】选B.由正弦定理,得=22=4,即sin A=,因为abc=16,所以S=bcsin A= =2.3.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75的斜坡,改造成倾斜角为30的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长()A.100 mB.100 mC.50(+)mD.200 m【解析】选A.设坡底需加长x m,由正弦定理得,解得x=100.4.(2015厦门模拟)在ABC中,若b=2,A=120,三角形的面积S=,则三角形外接圆的半径为()A.B.2C.2D.4【解析】选B.ABC中,因为b=2,
3、A=120,三角形的面积S=bcsinA=c,所以c=2=b,故B=(180-A)=30.再由正弦定理可得=2R=4,所以三角形外接圆的半径R=2.5.(2015阜阳模拟)如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30,45,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解题提示】先在ABP中求PB或PA,再解直角三角形即可.【解析】选A.在PAB中,PAB=30,APB=15,AB=60,sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45s
4、in30=-=,由正弦定理,得=,所以PB=30(+),所以建筑物的高度为PBsin45=30(+)=(30+30)m.【一题多解】解答本题,还可使用以下方法:选A.设建筑物的底部为C,建筑物高PC=x,在RtPCB中,PBC=45,所以BC=PC=x,在RtPCA中,PAC=30,所以tan30=,即CA=x,由图知x-x=60,解得x=30(+1)(m).【加固训练】如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB等于()A.aB.C.aD.a【解析】选B.因为DAC=ACB-D=60-30=30,所以AC=CD=a,
5、在RtABC中,AB=ACsin60=a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在ABCD中,AB=6,AD=3,BAD=60,则ABCD的面积为.【解析】ABCD的面积S=2SABD=ABADsinBAD=63sin 60=9.答案:97.(2015宜宾模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD=40 m,则电视塔的高度为m.【解析】设电视塔AB高为x m,则在RtABC中,由ACB=45,得BC=x.在RtADB中,ADB=30,所以BD=x.在BDC中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-
6、2BCCDcos 120,即(x)2=x2+402-2x40cos 120,解得x=40,所以电视塔高为40 m.答案:408.(2015临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.【解析】如图,设舰艇在B处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB=21t,CB=9t.在ABC中,根据余
7、弦定理,则有AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,可得,212t2=102+81t2+2109t.整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=- (舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案: 【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60方向,另一灯塔在船的南偏西75方向,则这只船的速度是每小时.【解析】如图,依题意有BAC=60,BAD=75,所以CAD=CDA=15,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是=10(海里/小时).答案:10海里三、解答题(每小
8、题10分,共20分)9.(2014新课标全国卷)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD.(2)求四边形ABCD的面积.【解题提示】(1)设出BD的长,利用余弦定理求解.(2)利用S四边形ABCD=SABD+SBCD求解.【解析】(1)设BD=x,在ABD,BCD中,由余弦定理,得cos A=,cos C=.因为A+C=,所以cos A+cos C=0,联立上式解得x=,cos C=,所以C=,BD=.(2)因为A+C=,C=,所以sin A=sin C=,四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD=ABADsin A+CBCDsin C=(1+3)
9、=2.所以四边形ABCD面积为2.10.(2015济南模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos=,=3.(1)求ABC的面积.(2)若c=1,求a,sinB的值.【解析】(1)cosA=2-1=,而=|cosA=bc=3,bc=5,又A(0,),sinA=,所以S=bcsinA=5=2.(2)因为bc=5,又c=1,所以b=5,a2=b2+c2-2bccosA=20,a=2,又=,sinB=.【加固训练】我炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6000米,ACD=45,ADC=75,目标出现于地面点B处时,测得BCD=30,BDC=15(如
10、图),求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)【解题提示】四点A,B,C,D可构成四个三角形,要求AB的长,由于ADB=75+15=90,只需知道AD和BD长,这样可选择在ACD和BCD中应用定理求解.【解析】在ACD中,CAD=180-ACD-ADC=60,CD=6000,ACD=45,根据正弦定理有AD=CD,在BCD中,CBD=180-BCD-BDC=135,CD=6000,BCD=30,根据正弦定理有BD=CD.又在ABD中,ADB=ADC+BDC=90,根据勾股定理有:AB=CD=CD=1000(米).(20分钟40分)1.(5分)甲船在岛B的正南A处,AB=10千米.甲船以每小时4
11、千米的速度向北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲船在A,B之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是()A.分钟B.小时C.21.5分钟D.2.15分钟【解析】选A.如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行到D处,在BCD中,BC=10-4x,BD=6x,CBD=120,两船相距S千米,根据余弦定理可得,DC2=BD2+BC2-2BCBDcosCBD=(6x)2+(10-4x)2-26x(10-4x)cos 120,即S2=28x2-20x+100=28(x-)2+100-28()2,所以当x=时,S2最小,从而S也最小,即航行60=分钟时两船相
12、距最近.故选A.2.(5分)(2014浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan的最大值是()【解析】选D.由勾股定理可得,BC=20 m,过点P作PPBC,交BC于点P,连接AP,如图,则tan=,设BP=x,则CP=20-x,由BCM=30得,PP=CPtan 30=(20-x).在RtABP中,AP=故tan=令y=,则y=当x0,当-x20时,
13、y0,所以当x=-时,y最大=,所以tan的最大值=3.(5分)(2015黄山模拟)若ABC中,b=3,B=,则该三角形面积的最大值为.【解题提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac的最大值,代入面积公式即可.【解析】由b=3,B=及余弦定理可得9=b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac2ac-ac=ac,所以ac9,当a=c=3时,取“=”,所以SABC=所以SABC的最大值为,当a=b=c=3时取得.答案: 【加固训练】(2011安徽高考)已知ABC的一个内角为120,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC的面积为.【解析】设三角形一边长为x,则另两边的长为x-4,x+4
14、,那么(x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos 120,解得x=10,所以SABC=106sin 120=15.答案:15【方法技巧】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用与该角正弦值有关的面积公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.4.(12分)(2014重庆高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cosC的值.(2)若sinAcos2+sinBcos2=2sinC,且ABC的面积S=sinC,求a和b的值
15、.【解题提示】(1)直接根据余弦定理即可求出cosC的值.(2)根据题设条件可以得到关于a和b的关系式进而求出a和b的值.【解析】(1)由题意可知:c=8-(a+b)=,由余弦定理得:cosC=-.(2)由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得:sinA+sinB=2sinC,化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知:a+b=3c.又因为a+b+c=8,故a+b=6.由S=absinC=sinC,所以ab=9,从而a2-6a+9=0
16、,解得a=3,b=3.5.(13分)(能力挑战题)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种途径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C,现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长.(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?【解题提示】(1)在ABC中,利用正弦定理求AB.(2)设时间t,画图
17、形,用余弦定理建立两人的距离关于时间t的函数,求函数的最值.【解析】(1)在ABC中,AC=1 260,因为cos A=,cos C=,所以sin A=sin C=sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C因为所以AB=故索道AB的长为1 040米.(2)设乙出发t分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.设乙出发t分钟后到达E点,此时甲到达F点,如图,连接EF,则AE=130t,AF=50(t+2).在EAF中,因为cos A=,所以EF2=AE2+AF2-2AEAFcos A=(130t)2+50(t+2)2-2130t50(t+2)=200(37
18、t2-70t+50),由0t,得0t8.即EF=,t0,8,故当t=时,EF最小.即乙出发min后,乙在缆车上与甲的距离最短.【加固训练】如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距10海里.问:乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由已知A2B2=10,A1A2=30=10,所以A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60,所以A1A2B2是等边三角形,所以A1B2=A1A2=10.由已知,A1B1=20,所以B1A1B2=105-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1A1B2cos 45=202+(10)2-22010=200, 所以B1B2=10.因此,乙船的速度为=30 (海里/时). 关闭Word文档返回原板块
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