1、高考总复习第（1）轮理科数学第六单元数列与算法第37讲 等差数列的概念及基本运算1理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式，前 n 项和公式及其性质1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的_都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作 a1，公差记作 d.符号表示为_(nN*，d 为常数)(2)通项公式：如果等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则它的通项公式是 an_.(3)等差中项：如果三数 a，A，b 成 等差 数列，则 A 叫作 a和 b 的等差中项即 A_.第二项差a1(n1)dan1and2等差数列an的常用性质(其中 m，n，p，qN*
2、)(1)anam_d.(2)若 mnpq，则 aman_.特例：若 mn2p，则 aman_.(3)等差数列的单调性：若公差 d0，则数列为_数列；若 d0，d0，则 Sn 存在最大值；若 a10，则Sn 存在最小值1若 ananb(其中 a，b 为常数，nN*)，则数列an是()A当 a0 时，才是等差数列B当 b0 时，才是等差数列C一定是等差数列D不一定是等差数列解：因为 an1ana(nN*)，由定义知，an一定是等差数列，故选 C.答案：C2(经典真题)在等差数列an中，若 a24，a42，则 a6()A1B0C1D6解：(方法：利用通项公式计算)设数列an的公差为 d，由 a24，
3、a42，a4a22d，得 242d，所以 d1.所以 a6a4(64)da42d220.(方法：利用中项的概念计算)易知 a2，a4，a6 成等差数列，所以 a4a2a62，即 24a62，所以 a60.答案：B3.(2016全国卷)已知等差数列an的前 9 项和为 27，a108，则a100()A.100B.99 C.98D97 解：(方法)因为an是等差数列，设其公差为 d，所以 S992(a1a9)9a527，所以 a53.又因为 a108，所以a14d3，a19d8，所以a11，d1.所以 a100a199d199198.故选 C.(方法)因为an是等差数列，所以 S992(a1a9)
4、9a527，所以 a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100 成等差数列，且公差 da10a5835.故 a100a5(201)598.故选 C.答案：C4(经典真题)在等差数列an中，若 a3a4a5a6a725，则 a2a8 .解：利用等差数列的性质可得：a3a7a4a62a5，从而 a3a4a5a6a75a525，所以 a55，所以 a2a82a510.答案：105.若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，所以 a80，因为 a7a10a8a90，所以 a9a80，a60，且 a13da15d0，所以 d12.所以当 n4 或 n5 时，Sn 取最大值，其最大值
5、S4S542432(12)5.(方法)由 a12，S3S6，得 32322 d62652 d，解得 d12.所以 Sn2nnn12(12)14(n29n)14(n92)2814，因此，当 n4 或 n5 时，Sn 取最大值 5.点评：(1)运用等差数列的性质，要关注下标的特点，重点要掌握好如下两条性质：若 pqmn，则 apaqaman；数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列(2)应用等差数列的性质解决某些问题，突出了整体思想，因而可减少运算量(3)求等差数列前 n 项和的最值，可以将 Sn 化为关于 n 的二次函数，利用求二次函数的最值的方法求出最值，但要注意 nN*.若利用等差
6、数列的单调性，结合等差数列的性质，找到正、负项的分界点，则可快速解决 考点3等差数列的判断与证明【例 3】(2018广州天河月考)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112.(1)求证：1Sn 是等差数列；(2)求 an 的表达式解：(1)证明：因为 anSnSn1(n2)，所以 Sn1Sn2SnSn1，Sn0，所以1Sn 1Sn12(n2)由等差数列的定义知1Sn 是以 1S11a12 为首项，以 2 为公差的等差数列(2)由(1)知1Sn 1S1(n1)d2(n1)22n，所以 Sn 12n.当 n2 时，an2SnSn112nn1，又 n1 时，a1
7、12.所以 an12 n1，12nn1n2.【变式探究】3(经典真题)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中 为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解：(1)证明：由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11.两式相减得 an1(an2an)an1.由于 an10，所以 an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得 a21.由(1)知，a31.令 2a2a1a3，解得 4.故 an2an4，由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n
8、4n1.所以 an2n1，an1an2.因此存在 4，使得数列an为等差数列点评：(1)等差数列的判定方法：定义法：即证明 an1and(d 是常数，nN*)中项公式法：即证明 2an1anan2(nN*)(2)利用anS1，n1，SnSn1，n2，可将含an与Sn的关系转化为只含 an 或 Sn 来研究1等差数列中含有五个量：a1，d，an，n，Sn，通项公式和前 n 项和公式是连接这五个量的关系式，通过这两个公式，知道其中任意三个可以求出另外两个但在计算时，要注意设元技巧，注意等差数列性质的运用2等差数列的证明一般采用定义法，即证明 an1and.若要判定一个数列是不是等差数列还可采用如下
9、结论：用中项公式判定：2an1anan2an是等差数列；用通项公式判定：anknban是等差数列；用求和公式判定：Snan2bnan是等差数列3等差数列的前 n 项和公式是特殊的二次函数关系式，对前 n 项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解一般地，有如下结论：如果 d0，则 Sn 有最小值当 a10 时，Sn 的最小值就是 S1a1；当 a10 时，数列中一定存在 am0，而 am10，Sn 的最小值就是 Sm；如果 d0，则 Sn 有最大值当 a10 时，Sn 的最大值就是 S1a1；当 a10 时，数列中一定存在 am0，而 am10，Sn 的最大值就是 Sm.点击进入WORD链接