1、高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第76讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差1理解取有限个值的离散型随机变量及其分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用3理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1离散型随机变量的分布列(1)随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫作 ；所有取值可以一一列出，这样的随机变量叫作 .(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xn，X取每个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则称表X x1 x
2、2 xi xnP p1 p2 pi pn为随机变量X的概率分布列，简称为X的 .随机变量离散型随机变量分布列(3)离散型随机变量的两个性质：；.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率 .2两个常见的分布列(1)两点分布：若随机变量X的分布列是X01 P1pp其中0pD()，所以乙比较稳定 答案：B期望、方差的计算一般分布超几何分布考点1期望、方差的计算【例 1】已知随机变量 X 的分布列如下：X123P0.2 0.5m若随机变量 3X1，则 E()为()A4.2 B18.9C5.3 D随 m 的变化而变化 解：因为 0.20.5m1，所以 m0.3.所以 E(X)1
3、0.220.530.32.1.所以 E()3E(X)132.115.3.答案：C【变式探究】1(2018浙江卷)设 0p1，随机变量 的分布列是012P1p212p2则当 p 在(0，1)内增大时，()AD()减小BD()增大CD()先减小后增大DD()先增大后减小 解：由题意知 E()01p2 1122p2p12，D()0(p12)21p2 1(p12)2122(p12)2p2(p12)21p2(p12)212(32p)2p212(p12)212(p12)2p2(p12)2p2(32p)212(2p212)p2(p12)2(p32)2p214p(2p1)p2p14(p12)212，所以 D(
4、)在(0，12)上递增，在(12，1)上递减，即当 p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小.答案：D 点评：根据期望、方差的定义求期望、方差的基本方法计算时，要注意分布列的性质、期望与方差的性质的应用.考点2超几何分布【例 2】(经典真题)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望 分析：本题(1)考查古典概型的概率计算；(2)考查超几何分布 解：(1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1
5、 个”，则由古典概型的概率计算公式有 P(A)C12C13C15C31014.(2)X 的所有可能值为 0,1,2，且 P(X0)C38C310 715，P(X1)C12C28C310 715，P(X2)C22C18C310 115.综上知，X 的分布列为X 012 P 715715115 故 EX0 7151 7152 11535【变式探究】2(经典真题)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代
6、表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的分布列和数学期望 解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C34C36C36 1100.因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1 1100 99100.(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3.P(X1)C13C33C46 15，P(X2)C23C23C46 35，P(X3)C33C13C46 15，所以 X 的分布列为 X123 P153515 因此
7、，X 的数学期望为 EX1152353152.点评：求超几何分布的分布列、期望的步骤：第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列；第四步，根据定义求出期望 考点3一般分布【例 3】(经典真题)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2
8、件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)分析：(1)利用排列组合知识及古典概型概率公式求解(2)列出随机变量 X 的分布列，根据均值(数学期望)公式求解 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)A12A13A25 310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)A22A25 110，P(X300)A33C12C13A22A35 310，P(X400)1P(X200)P(X300)1 110 310 610.故X的分布列为 X 200 300 400 P110310610 EX200 11
9、0300 310400 610350.【变式探究】3(经典真题)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X
10、(单位：元)，求X的分布列及数学期望 解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B，第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E(AC)(BD)，且AC与BD互斥，所以P(E)P(AC)P(BD)P(A)P(C|A)P(B)P(D|B)C34(12)312(12)4(12)412 364.(2)X的可能取值为400,500,800，并且 P(X400)1C34(12)312(12)41116，P(X500)116，P(X800)C34(12)31214.所以X的分布列为
11、X400500800 P111611614 EX4001116500 11680014506.25.点评：(1)求离散型随机变量的分布列常见类型有：类型1：由统计数据得到离散型随机变量的分布列；类型2：用古典概型求出离散型随机变量的分布列；类型3：由互斥事件、独立事件等的概率求出离散型随机变量的分布列(2)不论是哪种类型的分布列求解，一般步骤如下：第一步，确定X的所有可能取值xi(i1,2,3，)，并明确每一个取值的代表意义；第二步，求出相应的概率P(Xxi)pi(i1,2,3，)；第三步，列出分布列；第四步，根据需要求期望、方差等 1分布列的计算是概率部分计算的延伸，因此，两个原理、排列、组
12、合及随机事件的概率、古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验的概率等及其求法是学习本部分内容的基础，学习时，要自觉地运用这些知识分析处理有关的问题 2任一离散型随机变量的概率分布都有的两个性质：(1)pi0(i1,2，n)；(2)p1p2pn1.已知离散型随机变量的分布列(含未知参数)，可利用两条性质求出其中的参数，也可用这两条性质验证所写分布列是否正确 3求期望、方差的基础是离散型随机变量的分布列，求分布列的一般步骤：(1)根据具体情况确定取哪些值；(2)求取每一个值的概率；(3)列成表格 4两点分布和超几何分布是两种常见的离散型随机变量的分布，应熟练掌握 点击进入WORD链接