1、4.2 简单幂函数的图象和性质 最新课标 通过具体实例，结合 yx，y1x，yx2，y x，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.教材要点要点一 幂函数的概念一般地，形如_(为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数yx要点二 幂函数的图象和性质函数yxyx2yx3yx12y1x定义域RRR_ _值域R_R_ _奇偶性奇函数_非奇非偶函数_x|x0 x|x0y|y0 y|y0y|y0偶函数奇函数 奇函数单调性在 R 上递增在_上递减，在_上递增在_上递增在_上递增在(，0)和(0，)上递减图象过定点_(，0)(0，)R(0，)(0,0)，(1,1)(1,1)状元随笔 幂
2、函数在区间(0，)上，当 0 时，yx 是增函数；当 1)其中幂函数的个数为()A1 B2C3 D4解析：不具备幂函数解析式的特征，中系数不是 1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数答案：B2若函数 y(m22m2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，则 m 的值为()A1 B3C1 D3解析：因为函数 y(m22m2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，所以m22m21，m0，所以 m1.答案：A3已知幂函数 f(x)的图象经过点3，19，则 f(4)_.解析：设 f(x)x(为常数)，所以193，2，所以 f(4)42 116.答案：116方法归纳(1)幂函数的判断方
3、法幂函数是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如 yx(R)的函数才是幂函数如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断(2)求幂函数解析式的依据及常用方法依据若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件常用方法设幂函数解析式为 f(x)x，根据条件求出.题型二 幂函数的图象及应用师生共研例 1(1)函数 yx13 的图象是()解析：(1)由幂函数的图象过点(0,0)和(1,1)，故排除 A、D；因为 yx 中，0131，所以图象在第一象限内上凸，排除 C，故选 B.答案：
4、(1)B(2)幂函数 yxm，yxn，yxp，yxq 的图象如图，则将 m，n，p，q 的大小关系用“0，不过原点的 0，所以 n1 时，在直线 yx 上方的 1，下方的 1，0m1，0q1 时，指数越大，图象越高，所以 mq，综上所述 nqmp.答案：(2)nqm1，3512 1，2512 1，yx12 为增函数，2512 3512.综上，2512 3512 7602313.答案：2512 3512 7602313状元随笔 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”微点 2 解不
5、等式例 3 已知(a1)10，且 32a0 时，(a1)10，32a0，a132a，解得23a32.当 a10 时，(a1)10.符合题意可得a10，解得 a1.当 a10 且 32a0，(a1)1(32a)1，a10，32a32a，不等式组解集为.综上所述，a 的取值范围为(，1)23，32.状元随笔 本题易犯的错误是不进行分类讨论，直接由题目已知得“a132a”，要引以为戒跟踪训练 2(1)下列两个数的大小正确的是()A.1878 1978B.2323 0.30.6 D978 8967解析：(1)A 中：函数 yx78 在(0，)上单调递增，又1819，1878 1978，A 错；B 中：
6、函数 yx23 在(0，)上为减函数，又236，2323 623，B 正确；C 中，由幂函数单调性知 0.20.60.30.6，C 错；D 中：978 1978 1967 8967，978(m1)12，则实数 m 的取值范围为_解析：(2)函数 yx12 在定义域0，)上是增函数，32m0，m10，32mm1，解得1m23.故实数 m 的取值范围为1，23.答案：(2)1，23 易错辨析 忽视隐含条件致误例 4 已知 y(m23m3)x12m-1是幂函数，则 m 的值为()A4 B1C1 或 4 D3解析：由题意知：m23m31，得 m4 或 m1，又m12 1 为幂指数，要使式子 m12 1 有意义，需 m0，m4.故选 A.答案：A易错警示易错原因纠错心得 易忽视条件 m12 1 对 m 的限制，错选 C.解此类问题时，要观察 m 所处的位置，是否对 m 都有要求，否则容易出错.