1、4.1 函数的奇偶性 最新课标 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.教材要点要点 偶函数与奇函数1奇函数的概念一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，如果xA，都有xA，且 f(x)f(x)，那么称函数 f(x)为奇函数2偶函数的概念一般地，设函数 f(x)的定义域是 A，如果xA，都有xA，且 f(x)f(x)，那么称函数 f(x)为偶函数3奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于_对称；反之亦然(2)偶函数的图象关于_对称；反之亦然状元随笔 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性原点y 轴基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”
2、)(1)已知 f(x)是定义在 R 上的函数若 f(1)f(1)，则 f(x)一定是偶函数()(2)奇函数的图象一定过原点()(3)偶函数的图象与 x 轴交点的个数一定是偶数()(4)f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(0)0.()(5)存在既是奇函数又是偶函数的函数，且不止一个()(6)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反()2下列函数为奇函数的是()Ay|x|By3xCy1x3 Dyx214解析：A、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶函数，而 C 项中函数为奇函数答案：C3若函数 yf(x)，x2，a是偶函数，则 a 的值为
3、()A2 B2C0 D不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a0，所以 a2.答案：B4下列图象表示的函数是奇函数的是_，是偶函数的是_(填序号)解析：(1)(3)关于 y 轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数答案：(2)(4)(1)(3)题型一 判断函数的奇偶性自主完成判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x21x2；(2)f(x)2|x|；(3)f(x)x21 1x2；(4)f(x)xx1.解析：(1)函数 f(x)x21x2的定义域是x|x0关于原点对称又 f(x)(x)21x2x21x2f(x)，f(x)x21x2为偶函数(2)函数 f(x)2|x|的定义域为
4、R，关于原点对称，又 f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)2|x|为偶函数(3)函数 f(x)x21 1x2的定义域为1,1，关于原点对称，且 f(x)0，f(x)x21 1x2既是奇函数，又是偶函数(4)函数 f(x)xx1的定义域为x|x1，显然不关于原点对称，f(x)xx1为非奇非偶函数方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择、填空题中题型二 函数奇偶性的图象特征自主完成1函数 f(x)1xx 的图象关于()Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称 D直线 yx
5、对称解析：因为函数 f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，f(x)1x(x)1xx1xx f(x)，所以 f(x)1xx 是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称答案：C2设奇函数 f(x)的定义域为5,5，若当 x0,5时，f(x)的图象如图，则不等式 f(x)0 的解集是_解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则 f(x)在定义域5,5上的图象如图，由图可知不等式 f(x)0 的解集为x|2x0 或 2x5答案：x|2x0 或 2x5状元随笔 根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求
6、解问题题型三 函数奇偶性的应用微点探究微点 1 利用奇偶性求参数例 1(1)已知函数 f(x)x2(2m)x3 为偶函数，则 m 的值是()A1 B2C3 D4解析：(1)f(x)(x)2(2m)(x)3x2(2m)x3，由函数 yf(x)为偶函数，知 f(x)f(x)，即 x2(2m)x3x2(2m)x3，2m(2m)，m2.答案：(1)B(2)函数 f(x)x2a3x28为奇函数，则实数 a()A1 B1C32 D.32解析：(2)由题意 f(x)为奇函数，则 f(0)0，即 02a30，a32.此时 f(x)xx28为奇函数答案：(2)C状元随笔 由函数的奇偶性求参数应注意两点(1)函数
7、奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数，反比例函数，二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数微点 2 利用奇偶性求函数解析式例 2(1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 x0 时，f(x)_.解析：(1)当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)x(x1)答案：(1)x(x1)(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(x1)，则函数 f(x)的解析式为_解析：(2)当 x0，则 f(x)(x)(x1)x(x1)又函数 f(x)是定义在 R 上的奇
8、函数，所以 f(x)f(x)，f(x)x(x1)，又 f(0)0.综上，函数 f(x)的解析式为 f(x)xx1，x0，0，x0，xx1，x0，0，x0，xx1，x0.方法归纳 利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，x 就设在哪个区间上；(2)将x 代入已知区间上的解析式；(3)利用 f(x)的奇偶性把 f(x)写成f(x)或 f(x)，从
9、而解出对应区间上的 f(x)微点 3 利用奇偶性求函数值例 3(1)已知函数 f(x)ax3bx3，且 f(2)10，则函数 f(2)的值是_解析：(1)令 g(x)ax3bxg(x)a(x3)b(x)ax3bx(ax3bx)g(x)，g(x)为奇函数f(x)g(x)3g(x)3，g(2)7，f(2)g(2)3734.答案：(1)4(2)已知函数 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f(x)g(x)x3x22，则 f(1)g(1)()A2 B1C1 D2解析：(2)f(x)g(x)x3x22，由x 代入 x 得：f(x)g(x)x3x22由题意知 f(x)f(x)，g(
10、x)g(x)，f(x)g(x)x3x22，所以 f(1)g(1)1122.答案：(2)D状元随笔 (1)若 f(x)为奇函数，则 f(a)f(a)0；f(x)minf(x)max0.(2)若 f(x)为奇函数，g(x)f(x)k(k 为常数)，则 g(a)g(a)2k；g(x)ming(x)max2k.跟踪训练 1(1)设函数 f(x)x1xax为奇函数，则 a_.(2)若函数 f(x)ax2bx3ab 是偶函数，定义域为a2，2a，则 a_，b_.(3)已知 f(x)x5ax3bx8，且 f(2)10，则 f(2)_.解析：(1)方法一(定义法)由已知f(x)f(x)，即x1xaxx1xax
11、.显然 x0 得，x2(a1)xax2(a1)xa，故 a10，得 a1.(经检验满足题意)方法二(特值法)由 f(x)为奇函数得f(1)f(1)，即111a1111a1，整理得 a1.(经检验满足题意)(2)由 f(x)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有 a22a0，解得 a23.又 f(x)为偶函数，所以其图象关于 y 轴对称，即 b2a0，解得 b0.(3)令 g(x)x5ax3bx，则 g(x)是定义在 R 上的奇函数从而 g(2)g(2)又 f(x)g(x)8，f(2)g(2)810.g(2)18，g(2)g(2)18.f(2)g(2)818826.答案：(1)1(2)23 0(
12、3)26题型四 函数的奇偶性和单调性的综合应用师生共研例 4(1)已知函数 yf(x)在定义域1,1上是奇函数，又是减函数，若 f(1a2)f(1a)0，求实数 a 的取值范围(2)定义在2,2上的偶函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(1m)f(m)，求实数 m 的取值范围解析：(1)由 f(1a2)f(1a)0，得 f(1a2)f(1a)yf(x)在1,1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)a1，解得0a22，0a2，2a1.0a|m|，解得1mf(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f”求解(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反
13、，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响跟踪训练 2(1)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)在0，)上为增函数，且 f(3)0，则不等式 f(2x1)0 的解集为()A(1,2)B(，1)(2，)C(，2)D(1，)解析：(1)f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上为增函数f(x)在(，0上为减函数f(3)0，f(3)f(3)0.不等式 f(2x1)0 等价于32x13.1x2，不等式f(2x1)0 的解集为(1,2)答案：(1)A(2)已知偶函数 f(x)，且当 x0，)时，都有(x1x2)f(x2)f(x1)”连接)解析：(2)当 x0，
14、)时都有(x1x2)f(x2)f(x1)0 成立，f(x)在 x0，)上单调递增又 f(x)为偶函数，画出符合题意的图象(不唯一)，如图由图可知，当自变量距离 y 轴距离越近，则函数值越小，即12|2|5|，则 f12 f(2)cb.答案：(2)acb易错辨析 没能搞清分段函数的概念致错例 5 判断函数 f(x)x2，x0，x3，x0，的奇偶性解析：函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称f(2)238，f(2)(2)24，f(2)f(2)，f(x)不是偶函数又 f(2)f(2)，f(x)不是奇函数故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数易错警示易错原因纠错心得 本题若没有准确理解分段函数的概念，就会出现如下错解：当 x0 时，f(x)(x)2x2f(x)；当 x0 时，f(x)(x)3x3f(x)所以当 x0 时，函数 f(x)是偶函数；当 x0 时，函数 f(x)是奇函数.函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的，因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义，使“任意一个 x”都满足奇函数(偶函数)的定义，分段函数奇偶性的判断要严格按照定义进行，否则易出错.