1、课时跟踪检测(三十二)直线与直线垂直A级基础巩固1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是()A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直解析：选D因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC(图略)，则ACA1C1，ACBD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直故选D.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有()A2条B4条C6条 D8条解析：选D在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条故选D.3(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方
2、体中，给出下列四个结论，其中正确的是()AAB与CD所在直线垂直BCD与EF所在直线平行CAB与MN所在直线成60角DMN与EF所在直线异面解析：选CD画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A、B错误；ABDN，MNDNDM，所以DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的故选C、D.4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，ABBC2，BB11，AC2，则异面直线BD与AC所成的角为()A30 B45C60 D90解析：选C如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则ACA1C1DE，则BDE(或其补角)
3、即为异面直线BD与AC所成的角由条件可知BDDEEB，所以BDE60，故选C.5在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处，如图所示，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成的角的正切值为()A. B2C. D4解析：选A取AD的中点N，连接PN，MN(图略)因为M是AC的中点，所以MNCDPB，且MNPB，所以四边形PBMN为平行四边形，所以MBPN，所以APN为异面直线BM与PA所成的角在RtNAP中，tanAPN，故选A.6在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有_条
4、解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条答案：27已知四面体ABCD的棱都相等，G为ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为_解析：设四面体ABCD的棱长为a，直线AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF(图略)由题意知E为BC的中点，所以CDEF，所以AEF为异面直线AG与CD所成的角由题意知AEAFa，EFa，则在AEF中，cosAEF.答案：8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有_条解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，
5、其中只有B1C和AD1所成的角为90.答案：19如图，正四棱锥PABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，因为E是PC的中点，所以OE是PAC的中位线，则OE綉PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，设四棱锥的棱长为1，则OEPA，OBBD，BE，则cosOEB.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求证：EFA1C1.解：(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCDA1B1C1D1是正方
6、体知，四边形AA1C1C为平行四边形，ACA1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角在AB1C中，由AB1ACB1C，可知B1CA60，即A1C1与B1C所成的角为60.(2)证明：连接BD.由(1)知ACA1C1，AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，ACEF，EFA1C1.B级综合运用11如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点将ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥ADEF，则HG与IJ所成角的大小为()A90 B60C45 D0解析：选B如图所示，在三棱锥
7、ADEF中，因为G，H，I，J分别为AF，AD，AE，DE的中点，所以IJAD，HGDF，故HG与IJ所成的角与AD与DF所成的角相等显然AD与DF所成的角的大小为60，所以HG与IJ所成角的大小为60，故选B.12在四面体ABCD中，BDAC2，ABBCCDDA，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为()A. B.C. D解析：选B如图，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分别为，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GFAC，所以EFG即为异面直线EF与AC所成的角，GFAC1.同理GEBD，GEBD1.易得ACBD，所以GE
8、GF，所以GEF是等腰直角三角形，则EFG，即异面直线EF与AC所成的角为，故选B.13如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点设GF，C1E与AB所成的角分别为，则sin2sin2_解析：取正方形B1C1CB的中心为点O，连接OC1，OE(图略)因为E是正方形ADD1A1的中心，所以由正方体的性质易知OEAB，所以C1EO为异面直线C1E与AB所成的角，即C1EO.取BC的中点H，连接GH，FH.因为F是正方形ABCD的中心，所以FHAB，所以GFH为异面直线GF与AB所成的角，即GFH.设正方体的棱长为2，在GFH中，GH，
9、FH1，GF，所以GH2FH2GF2，即FHG90，则sin .在C1EO中，OE2，C1E，OC1，所以OE2OCC1E2，即EOC190，则sin ，所以sin2sin21.答案：114.如图所示，四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC2.求EF的长度解：取BC的中点M，连接ME，MF，如图则MEAC，MFBD，ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60，EMF60或EMF120.当EMF60时，EFMEMFBD1；当EMF120时，取EF的中点N，则MNEF，EF2EN2EMsinEMN21.故EF的长度
10、为1或.C级拓展探究15.如图，已知点P在圆柱OO1的底面O上，AA1AB，BPA1P，AB，A1B1分别为O，O1的直径，且ABA1B1.若圆柱OO1的体积V12，OA2，AOP120，回答下列问题(1)求三棱锥A1APB的体积；(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，得VOA2AA14AA112，解得AA13.由OA2，AOP120，得BAP30，BP2，AP2，SPAB222，三棱锥A1APB的体积VA1APBSPABAA1232.(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.证明如下：O，M分别为AB，AP的中点(图略)，OMBP，A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角AA13，AB4，AA1AB，A1B5.又BPA1P，cosA1BP，当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.6