1、第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题一、选择题1.函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A.(1，1 B.(0，1C.1，) D.(0，)解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1.答案B2.(2015昆明模拟)已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()A.1，1 B.1，)C.1，) D.(，1解析f(x)mx20对一切x0恒成立，m.令g(x)，则当1，即x1时，函数g(x)取最大值1.故m1.答案C3.(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，
2、则k的取值范围是()A.(，2 B.(，1C.2，) D.1，)解析f(x)k，由题意知f(x)0在(1，)上恒成立，即k0在(1，)上恒成立，由于k，而01，所以k1.故选D.答案D4.(2015临沂模拟)函数f(x)x33axa在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是()A.0，1) B.(1，1) C. D.(0，1)解析f(x)3x23a3(x2a).当a0时，f(x)0，f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a0时，f(x)3(x)(x).当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减，所以当1，即0a1时，f(x)在(0，1)内有最小值.答案D5.已知
3、函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.(，) B.(，)C.(，) D.(，)(，)解析f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，所以4a2120，解得a或a.答案D二、填空题6.(2015天津卷)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)3，则a的值为_.解析f(x)aln xaxa(ln x1)，由f(1)3得，a(ln 11)3，解得a3.答案37.若f(x)x33ax23(a2)x1在R上单调递增，则a的取值范围是_.解析f(x)3x26ax3(a2).由题意知f(x)0在R上恒
4、成立，所以36a2433(a2)0，解得1a2.答案1，28.(2015衡水中学期末)若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_.解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.答案(0，1)(2，3)三、解答题9.(2015安徽卷)已知函数f(x)(a0，r0).(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值.解(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(
5、r，).f(x)，f(x).所以当xr时，f(x)0，当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r).(2)由(1)的解答可知f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减.因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.10.已知函数f(x)x22aln x.(1)若函数f(x)的图象在(2，f(2)处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)若函数g(x)f(x)在1，2上是减函数，求实数a的取值范围.解(1)f(x)2x.由已知f(2)1，解得a3.(2)由g(x)x22aln x，得g(x)2
6、x.由函数g(x)为1，2上的单调减函数，则g(x)0在1，2上恒成立，即2x0在1，2上恒成立，即ax2在1，2上恒成立.令h(x)x2，在1，2上h(x)2x0，所以h(x)在1，2上为减函数，h(x)minh(2).所以a.11.(2015合肥模拟)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)已知函数g(x)ln(1x)xx2(k0)，讨论函数g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0在1，)上恒成立，得a.记t(x)，当x1时，t(x)是增函数，所以t(x)min(11)0.所以a0.(2)g(x)，x(1，).当k0时，g(x)，所以在区间(1，0)上，g(x)0；在区间(0，)上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0，单调递减区间是0，).当0k1时，由g(x)0，得x10，x20，所以在区间(1，0)和上，g(x)0；在区间上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是(1，0和，单调递减区间是.当k1时，g(x)0，故g(x)的单调递增区间是(1，).当k1时，g(x)0，得x1(1，0)，x20，所以在区间和(0，)上，g(x)0，在区间上，g(x)0.故g(x)的单调递增区间是和0，)，单调递减区间是.