1、高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第32讲 平面向量的坐标表示及坐标运算1理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线1向量的直角坐标在平面直角坐标系 xOy 内，分别取与 x 轴和 y 轴_的两个 _向量 i、j 作为基底，对于平面内的向量 a，有且只有一对实数 x、y，使得 axiyj，_就叫作在基底 i、j 下的坐标2向量的直角坐标运算若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则(1)ab_；(2)ab_；(3)若 a(x，y)，R，则 a_；(4)
2、若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ABuuur_.3平面向量共线的坐标表示若 a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则 ab 的充要条件是_.方向相同单位(x，y)(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x，y)(x2x1，y2y1)x1 y2 x2 y1=01若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x2，y20，则 abx1x2y1y2.3中点与重心的坐标公式(1)若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为 P1P2 的中点，则点 P 的坐标为(x1x22，y1y22)；(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x
3、1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心 G的坐标为(x1x2x33，y1y2y33)1在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)解：由题意知，A 选项中 e10.C、D 项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选 B.事实上，a(3,2)2e1e2.答案：B2设 i，j 分别为与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，若 a2i3j，则向量 a 的坐标为()A(2,3)B(3,2)C(2，3)D(3，2)解：由向量坐标的定义可知 a 的坐标
4、为(2,3)答案：A3若向量 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c()A.12a32bB.12a32bC.32a12bD.32a12b解：由平面向量的基本定理可知，可设 cxayb.即(1,2)x(1,1)y(1，1)所以1xy2xy，解得x12，y32.所以 c12a32b.答案：B4(2018长春二模)已知平面向量 a(1，3)，b(2，0)，则|a2b|()A.3 2B3 C2 2D.5 解：由题意 a2b(3，3)，所以|a2b|（3）2（3）23 2.答案：A5.(2018全国卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，则 _.解：2ab(4，2
5、)，因为 c(2ab)，所以 42，得 12 答案：12向量的坐标运算向量共线的坐标表示及应用平面向量坐标运用的综合应用考点1向量的坐标运算【例 1】已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(1，2)，则顶点 D 的坐标为_解：设 D 的坐标为(x，y)，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ABuuur DCuuur，所以(0,2)(1,0)(1，2)(x，y)，所以(1,2)(1x，2y)，所以1x1，2y2，所以x0，y4，所以 D 的坐标为(0，4)答案：(0，4)【变式探究】1.(2018福建龙岩一模)已知ABC 的三个顶点 A，B，
6、C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，2)，O 为坐标原点，动点 P 满足|CP|1，则|OAOB OP|的最小值是()A.31B.111 C.31D.111 解：动点 P 满足|CP|1，动点 P 在以(0，2)为圆心，半径为 1 的圆上运动，设 P(x，y)，则|OAOB OP|(0,1)(2，0)(x，y)|(x 2，y1)|x 22y12，表示定点 D(2，1)到圆 C：x2(y2)21 上的点的距离 因为|DC|22122 3，所以|OAOB OP|的最小值为 31.点评：(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化(3)注意如下结论的运用
7、：当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量OP 的坐标；若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量 AB(x2x1，y2y1)；|AB|x2x12y2y12.考点2向量共线的坐标表示及应用【例 2】如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求 AC 和 OB 交点 P 的坐标解：(方法 1)由 O，P，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，因为 AP OP OA(44，4)，又 AC OC OA(2，6)，由 AP 与 AC 共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP OB 34(4，4)(3，3)解：(方法 2)设 P(x，y)，则OPuuur(x
8、，y)，OBuuur(4,4)，因为OPuuur，OBuuur共线，所以 4x4y0，又CPuur(x2，y6)，CAuur(2，6)，且向量CPuur，CAuur共线，所以6(x2)2(y6)0，解和组成的方程组得 x3，y3，所以 P 的坐标为(3,3)【变式探究】2.(2016辽宁实验中学模拟)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c(ab)，则 c()A.(79，73)B.(73，79)C.(73，79)D(79，73)解：设 c(x，y)，因为 a(1,2)，b(2，3)，所以 ca(x1，y2)，ab(3，1)，因为(ca)b，所以3(x1)2(y2)0
9、，即 3x2y7，又 c(ab)，所以 3xy0，由得3x2y7，3xy0，解得x79，y73.点评：(1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些(2)求有关向量的坐标或点的坐标时，若直接求解困难，可考虑利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解 考点3平面向量坐标运用的综合应用【例 3】(2018深圳市二模)如图，正方形 ABCD 中，M，N是 BC，DC 的中点，若 AC AM BN，则()A.2B.83 C.65D.85 解：(方法 1：选择 AB、AD为基底)因为AC AM BN (AB BM)(BC
10、CN)(AB 12 AD)(AD12 AB)(12)AB(12)AD，所以121，121，解得65，25.所以 85.(方法 2：建立坐标系，利用坐标运算求解)以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD 所在直线为 x，y 轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，M(1，12)，N(12，1)，所以 AC(1,1)，AM(1，12)，BN(12，1)，因为 AC AM BN，所以(1,1)(1，12)(12，1)(12，12)，所以121，121，解得65，25.所以 85.【变式探究】3.向量 a，b，c 在正方形网中的位置如图所示
11、，若 cab(，R)，则_.解：以向量 a，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得 a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，因为 cab(，R)，即(1，3)(1,1)(6,2)(6，2)，所以16，32，解得2，12，所以4.答案：4点评：(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决(2)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解因此，在求解时，要注意方法的选择1向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10.对共线的充要条件要注意：ab 的充要条件不能表示成x1y1x2y2，因为 y1，y2 可能为 0；ab 的充分条件不能错记为 x1x2y1y20，也不能与 ab 的充要条件 x1x2y1y20 混淆3平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决点击进入WORD链接