1、高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第69讲 圆锥曲线的综合应用(二)(与定点、定值及探索性问题的综合)1掌握定点、定值问题处理的常用方法 2会求解与探索性有关的问题 1圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考常考题型，难度较大常用的解题方法有两种：(1)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从得到到定点或定值；(2)从特殊情况入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与变量无关 2圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化一般步骤为：(1)假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出；(2)列出关于待定系数的方程
2、(组)；(3)若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在 1已知双曲线x22y2b21(b0)的左右焦点分别为 F1、F2，其一条渐近线方程为 yx，点 P(3，y0)在该双曲线上，则1PF 2PF()A12B2 C0D4 解：因为 b21，所以双曲线方程为x22y221，因为点 P(3，y0)在双曲线上，所以 y01，即 P(3，1)，又因为 F1(2,0)，F2(2,0)，所以1PF 2PF 0.答案：C2(2017云南省高中毕业生统一检测(一)抛物线 M 的顶点是坐标原点 O，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，准线与曲线 E：x2y26x4y30 只有一个公共点，设 A
3、是抛物线 M 上一点，若OA AF 4，则点 A 的坐标是()A(1,2)或(1，2)B(1,2)或(1，2)C(1,2)D(1，2)答案：B解：设抛物线 M 的方程为 y22px(p0)，则其准线方程为 xp2.曲线 E 的方程可化为(x3)2(y2)216，则有 3p24，解得 p2.所以抛物线方程为 y24x，F(1,0)，设 A(y204，y0)，则有OA(y204，y0)，AF(1y204，y0)，所以OA AF y204(1y204)y204，解得 y02，所以 x01，所以 A 的坐标为(1,2)或(1，2)【例 1】(2017 全国卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)
4、，四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3(1，32)，P4(1，32)中恰有三点在椭圆 C 上(1)求 C 的方程(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点 解：(1)由于 P3，P4 两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4 两点又由 1a2 1b2 1a2 34b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2 在椭圆 C 上因此 1b21，1a2 34b21，解得a24，b21.故椭圆 C 的方程为x24y21.(2)设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果 l
5、与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0，且|t|2，可得 A，B 的坐标分别为(t，4t22)，(t，4t22)，则 k1k24t222t4t222t1，得 t2，不符合题设从而可设 l：ykxm(m1)将ykxm 代入x24y21 得(4k21)x28kmx4m240.由题设可知 16(4k2m21)0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 8km4k21，x1x24m244k21.而 k1k2y11x1 y21x2 kx1m1x1kx2m1x22kx1x2m1x1x2x1x2.由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)4m244k21
6、(m1)8km4k210，解得 km12.当且仅当 m1 时，0，于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 过定点(2，1)【变式探究】1.(2016北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值 解：(1)由题意得 ca 32，12ab1，a2b2c2，解得a2，b1，c 3.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：由(1)知，A(2
7、,0)，B(0,1)设 P(x0，y0)，则 x204y204.当 x00 时，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1yM|1 2y0 x02|.直线 PB 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01，从而|AN|2xN|2 x0y01|.所以|AN|BM|2 x0y01|1 2y0 x02|x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y02|4x0y04x08y08x0y0 x02y02|4.当 x00 时，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.综上，|AN|BM|为定值 点评：(1)解决定
8、点、定值问题常用的思路有两种：从特殊入手，求得定点、定值，再证明这个定点、定值与变量无关；直接推理计算，并在计算的过程中消去变量，从而得到定点、定值(2)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程 yy0k(xx0)来证明【例 2】(经典真题)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由 解：(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)，或M(2 a，a)，N(2 a，a)，又 yx2，故 yx2
9、4在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.yx24在 x2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.故所求的切线方程为 axya0 和 axya0.(2)假设符合题意的点存在，设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0.故 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba.当 ba 时，有 k1k20，
10、则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意【变式探究】2(2017湖南湘中名校联考)如图，曲线 C 由上半椭圆C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为 32.(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点P，Q(均异于点 A，B)，是否存在直线 l，使得以 PQ 为直径的圆恰好过点 A？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：(1)在 C1，C2 的方程中令 y0，可得 b1.且 A(1,0)，
11、B(1,0)是上半椭圆 C1 的左、右顶点设 C1 的半焦距为 c，由ca 32 及 a2c2b21，可得a2.所以 a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y24x21(y0)，由题意知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，代入 C1 的方程，整理得(k24)x22k2xk240，(*)设点 P 的坐标为(xP，yP)，因为直线 l 过点 B，所以 x1 是方程(*)的一个根，由求根公式，得 xPk24k24，从而 yP8kk24，所以点 P 的坐标为(k24k24，8kk24)同理，由ykx1，yx21y0，得点 Q 的坐标为(k1，k22k
12、)所以 AP 2kk24(k，4)，AQk(1，k2)，依题意可知 APAQ，所以 AP AQ0，即2k2k24k4(k2)0，因为 k0，所以 k4(k2)0，解得 k83，经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)点评：(1)存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论(2)在具体求解过程中，要注意化归与转化思想的运用，如例 2，将判断OPMOPN 是否成立的问题转化为判断 k1k20 是否成立，变式 2 中，将以 PQ
13、 为直径的圆是否过 A点转化为 APAQ 是否垂直，进而转化为 AP AQ0，从而实数了将“形”的问题转化为“数”来研究，也体现了数形结合思想的运用1定值问题、探究性问题常与解析几何综合问题结合在一起，考查考生运算求解能力、推理论证能力和化归与转化的思想方法 2定值问题一般是直接推理，计算，在推理计算过程中消去变量，从而得到定点或定值；有时也可采用特殊与一般的辩证关系进行求解，即先通过特例找到定点或定值，再进行证明 3探究性问题，一般是采用“肯定顺推法”即先假设成立，在此基础上进行推理，若推出符合题意的结果，说明假设成立，若推出矛盾的结果，说明假设不成立探究性问题的处理，要特别注意化归与转化思想的运用，同时，要有意识地培养自己的运算求解能力及推理论证能力 点击进入WORD链接