1、2.2 函数的表示法 最新课标(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.要点一 函数的表示法数学表达式图象表格状元随笔 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系2由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量 x 的值可查找到和它对应的唯一的函数值 y.要点二 分段函数在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数状元随笔 1.分
2、段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数2分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的如 y1，2x0，x，0 x3，其“段”是不等长的教材答疑教材 P55 思考交流图(1)和图(3)不是函数图象，因为对于 x 在某一范围内的每一个确定的值，y 不能保证都有唯一确定的值与之对应，所以 y 不是 x的函数图(2)是函数图象，因为对于 x 在某一范围内的每一确定的值，y 能保证都有唯一确定的值与之对应，所以 y 是 x 的函数基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)解析法可以表示任意的函数()(2)列表法表示 yf(x)，y 对应的那一行数字可能出现相同的情况()(3
3、)分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为 R.()(4)在坐标平面上，一个图形就是一个函数图象()(5)任何一个函数都可以用列表法表示()(6)函数的图象一定是一条连续不断的曲线()解析：与 y 轴平行或重合的直线与图形有两个或两个以上的交点时，图形就不是函数的图象，如圆2汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，则图象可能是()解析：汽车启动，瞬时速度在变大，所以曲线上升得越来越快；加速行驶过程中，曲线上升得更快；匀速行驶过程中，速度不变，路程均匀增加；减速行驶过程中，瞬时速度在变小，所以曲线上升得越来越慢，故选 A.答案：
4、A3已知函数 f(x)1x1，x1，则 f(2)等于()A0 B.13C1 D2解析：f(2)211.答案：C4已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出x1 2 3f(x)2 1 1 x1 2 3g(x)3 2 1则 f(g(1)的值为_当 g(f(x)2 时，x_.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知 g(1)3，f(g(1)f(3)1.由于 g(2)2，f(x)2，x1.答案：1 1题型一 函数的表示法自主完成1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变
5、慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为 0.答案：D2已知函数 f(x)按下表给出，满足 f(f(x)f(3)的 x 的值为_x1 2 3f(x)2 3 1 解析：由表格可知 f(3)1，故 f(f(x)f(3)即为 f(f(x)1.f(x)1 或 f(x)2，x3 或 1.答案：3 或 13.已知函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式是_解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的，当1x0 时，设 f(x)axb，将(1,0)，(0,1)代入解析式得ab0，b1，即a1，b1，所以 f(x)x1.当 0 x1 时，
6、f(x)x.所以 f(x)的解析式为 f(x)x1，1x0，x，0 x1.答案：f(x)x1，1x0，x，0 x1.方法归纳 理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主题型二 求函数的解析式微点探究微点 1 已知函数类型求函数解析式例 1 求函数的解析式：(1)已知 f(x)是一次函数，且 f(f(x)4x1，求 f(x)；(2)已知二次函数 f(
7、x)满足 f(0)f(4)，且 f(x)0 的两根的平方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)待定系数法解析：(1)因为 f(x)是一次函数，设 f(x)axb(a0)，则 f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又因为 f(f(x)4x1，所以 a2xabb4x1.所以a24，abb1，解得a2，b13或a2，b1.所以 f(x)2x13或 f(x)2x1.(2)设 f(x)ax2bxc(a0)由 f(0)f(4)及f0c，f416a4bc，得 4ab0 又图象过点(0,3)，所以 c3 设 f(x)0 的两实根分别为 x1，x2，则 x1x2ba，x1x2ca，所以 x2
8、1x22(x1x2)22x1x2ba22ca10.即 b22ac10a2 由得 a1，b4，c3.所以 f(x)x24x3.状元随笔 已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组(3)解方程或方程组，得到待定系数的值(4)将所求待定系数的值代回所设解析式微点 2 已知 f(g(x)的解析式，求 f(x)的解析例 2(1)若 f1x x1x，则当 x0，且 x1 时，函数的解析式f(x)_；(2)已知 f(x1)x2 x，则 f(x)_.换元法解
9、析：(1)设 t1x(t0，且 t1)，则 x1tf(t)1t11t 1t1，f(x)1x1(x0，且 x1)(2)令 x1t(t1)，则 x(t1)20，f(t)(t1)22 t12t21(t1)，f(x)x21(x1)答案：(1)1x1(x0 且 x1)(2)x21(x1)微点 3 已知式中含 f(x)，f1x 或 f(x)，f(x)形式的式子，求 f(x)的解析式例 3 已知 f(x)2f1x x(x0)，则 f(x)_.解方程组法解析：用1x替换式子中的 x，可得 f1x 2f(x)1x.于是有fx2f1x x，f1x 2fx1x.解得 f(x)23xx3(x0)答案：23xx3(x0
10、)状元随笔 若已知函数f(x)满足某个等式，这个等式除含有f(x)外，还出现其他未知量(如 f1x，f(x)等)，求解此类函数解析式的关键是利用相互代换得到方程组，消去 f(x)或 f1x，进而得到函数 f(x)的解析式跟踪训练 1(1)已知 f(x1)x23x2，则 f(x)_.(2)已知函数 yf(x)是一次函数，且f(x)23f(x)4x210 x4，则 f(x)_.(3)已知函数 f(x)对于任意的 x 都有 f(x)2f(x)12x，则 f(x)_.解析：(1)设 x1t，则 xt1，f(t)(t1)23(t1)2t25t6f(x)x25x6.(2)设 f(x)kxb(k0)则f(x
11、)23f(x)(kxb)23(kxb)k2x2(2kb3k)xb23b4x210 x4所以k24，2kb3k10，b23b4，解得k2b4或k2，b1.f(x)2x4 或 f(x)2x1.(3)用x 代 x 可得 f(x)2f(x)12x，由fx2fx12x，fx2fx12x.消去 f(x)得 f(x)23x1.答案：(1)x25x6(2)2x4 或 2x1(3)23x1题型三 分段函数问题微点探究微点 1 分段函数求值例 4 已知 f(x)x2，x1，x2，1x2，2x，x2.(1)求 f()，ff32；(2)若 f(a)12，求 a 的值解析：(1)1，f()2，1322，ff32 f94
12、 29492.(2)分三种情况：当 a1 时，则有 a212，解得 a32，满足；当1a2 时，则有 a212，解得 a 22，满足；当 a2 时，则有 2a12，解得 a142，不满足综上所述，a 的值为32或 22.方法归纳(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解微点 2 解分段函数不等式例 5 已知函数 f(x)x4，x2，x24x3，x2，不等式 f(x)0 的解集是_解析：当 x2 时，x40，解得 2x4.当 x2 时，x2
13、4x30 解得 1x2.综上，f(x)1，若 f(x)1，则 x_.解析：(1)当 x1 时，x11，解得 x2；当 x1 时，x211，解得 x0.综上，x0 或 x2.答案：(1)0 或 2(2)已知函数 f(x)x，x2，x1，2x4，3x，x4，若 f(a)3，则 a 的取值范围为_解析：(2)当 a2 时，f(a)a3，此时不等式的解集为(，3)；当2a4 时，f(a)a13，此时不等式无解；当 a4 时，f(a)3a3，此时不等式无解故 a 的取值范围为(，3)答案：(2)(，3)易错辨析 忽视函数定义域致误例6 已知函数f(x1)x1，则函数f(x)的解析式为_解析：令 x1t(t1)，则x(t1)2，f(t)(t1)21t22t2f(x)x22x2(x1)易错警示易错原因纠错心得 易忽视x 1整体的取值范围而忘记f(x)的定义域要求，从而错答为：f(x)x22x2.利用换元法求解析式时，一定不要忘记换元后新元的范围，即函数的定义域.