1、高考总复习第（1）轮理科数学第七单元不等式与推理证明第47讲 直接证明与间接证明1理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题 2理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤 1综合法 一般地，利用，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法 综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 QnQ 其中，P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论 已知条件和某些数学定义、定理、公理等推理论证2分析法 从 要出 发，逐 步 寻 求 使 它 成 立的，直至最后，要把证明的结论归结为(已知条件、定义、定理
2、、公理等)这种证明的方法叫作分析法分析法又叫逆推法或执果索因法 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件 证明的结论 充分条件判定一个明显成立的条件3反证法 一般地，假设，经过，最后得出，因此说明，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫作反证法 原命题的结论不成立正确的推理矛盾假设错误1下面的两个不等式：a2b2c2abbcca；32 22 7.其中恒成立的有()A只有 B只有 C和D和都不成立 解：成立用综合法证明：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，三式相加除 2 即得；成立用分析法证明：要证 32 22 7，只需证(
3、32 2)2(2 7)2，即证 114 6114 7，即证 6 7，即证 67，而 60，b0，则有()A.b2a 2baB.b2a 2ba C.b2a 0，即比较 b2 与2aba2 的大小，因为 a2b22ab，所以 b22aba2，从而b2a 2ba.答案：B4用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根”时，要做的反设是()A方程 x3axb0 没有实根 B方程 x3axb0 至多有一个实根 C方程 x3axb0 至多有两个实根 D方程 x3axb0 恰好有两个实根 解：“方程 x3axb0至少有一个实根”“方程 x3axb0 的实根个数大于或等于 1”，
4、因此，要做的反设是方程 x3axb0 没有实根 答案：A5已知函数 f(x)在(，)上是减函数，则方程 f(x)0 的根的情况为()A至多有一个实根B至少有一个实根 C有且只有一个实根 D无实根 解：假设方程有两个实根 x1，x2，不妨设 x1f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根 答案：A综合法分析法反证法考点1综合法【例 1】在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 A，B，C成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形证明：由 A，B，C 成等差数列，有 2BAC.因为 A，B，C 为ABC 的内角，所以 ABC.由，得 B3.由
5、a，b，c 成等比数列，有 b2ac，由余弦定理，可得 b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得 a2c2acac.即(ac)20，因此 ac，从而有 AC.所以 ABC3.所以ABC 为等边三角形【变式探究】1已知数列an满足 a112，且 an1an3an1(nN*)(1)证明数列 1an是等差数列，并求数列an的通项公式；(2)设 bnanan1(nN*)，数列bn的前 n 项和为 Tn，证明 Tn0，所以 Tn16.点评：综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法 考点2分析法【例 2】设 a，b，c 均为正数，且 abc1，求证：a b c 3.证明：要证
6、a b c 3，只需证 abc2 ab2 bc2 ca3，因为 abc1，只需证 ab bc ca1.而 abab2，bcbc2，caac2，上述三式相加得 ab bc ca2abc21 成立，故原不等式成立【变式探究】2.设 a,b,c 是ABC 的三边，S 是三角形的面积，求证：c2a2b24ab4 3S.证明：要证 c2a2b24ab4 3S.将余弦定理及面积公式代入得，只需证2abcos C4ab2 3absin C，即证 2cos C 3sin C，即证 3sin Ccos C2，即证 sin(C6)1.而上式成立，所以原不等式成立 点评：分析法是从命题的结论出发，逐步分析使结论成立
7、的充分条件，因此，要特别注意分析法的书写格式常采用“要证只需证而成立，故原命题成立”这样的书写格式 考点3反证法【例 3】设an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？解：(1)证明：若数列Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2)，整理得 a21q0，所以 a1、q 中至少有一个为零，这与an是等比数列满足 an0(nN*)和 q0 矛盾 所以假设不成立，所以数列Sn不是等比数列(2)当 q1 时，an是常数列，且 an0(nN*)，此时Sn为等差数列 当 q1 时，Sn不是等差
8、数列，否则，S1，S2，S3 成等差数列，即 2S2S1S3，所以 2a1(1q)a1a1(1qq2)，整理得 a1q(1q)0，因为 q1，所以 a1q0，即 a1、q 中至少有一个为零，这与 q0，an0(nN*)矛盾 综上所述，当 q1 时数列Sn为等差数列；当 q1时数列Sn不是等差数列【变式探究】3已知数列an的前 n 项的和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 解：(1)当 n1 时，a1S12a12，所以 a11，又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减，得 an112an，所以an是首项为 1，公比
9、为12的等比数列，所以 an 12n1.(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(pqr，且 p，q，rN*)，则 2 12q 12p12r，所以 22rq2rp1.(*)又因为 pqr，p，q，rR，所以 rq，rpN*，所以(*)式左边是偶函数，右边是奇数，等式不成立 所以假设不成立，故原命题成立 点评：(1)当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型的命题时，常用反证法(2)在证明某些问题时，并不是整个过程都是采用反证法，而是某一小问，或某一结论的解决或某个步骤的解决需要采用反证法，因此，要根据问题的特点适时运用，要多方面、多渠
10、道考虑，提高解决问题的灵活性 1数学证明常用的方法有直接法和间接法综合法和分析法是直接证明的常用方法，也是解决数学问题的常用思维方式当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行时，可以采用间接证明，间接证明最主要的方法是反证法 2解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用，即“由已知看可知，由所求看需知”，从而达到条件与结论的沟通分析法一般用于解决问题思路方面的探求，综合法表述简洁，规范因此，可用分析法寻找解题思路，用综合法书写解题过程 3用反证法证明数学命题一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；(4)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确点击进入WORD链接