1、1 指数幂的拓展 最新课标通过对有理数指数幂amn(a0且a1，m，n为整数，且n0)，实数指数幂ax(a0且a1，xR)含义的认识，了解指数幂的拓展过程.教材要点要点一 分数指数幂1分数指数幂：给定正数a和正整数m，n(n1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bnam，则称b为a的_次幂，记作b_.mnamn状元随笔(1)所谓两个正整数m，n互素(也叫互质)指的是m，n除1之外没有其他正约数此时，称mn为既约分数，例如：2和5互素，但是3和9就不是互素(2)对于amn，显然不能理解成mn 个a相乘，那么，怎么理解它的意义呢？一是根据定义：满足bnam的正数b就是amn；二是借助根式：有
2、时也把amn 看成根式n am，可以看出，amn 就是正数am的n次算术根例如：234 4 234 8(即8的4次算术根)(3)当k是正整数时，amn akmkn.(4)对于正分数指数幂，规定其底数是正数，例如：虽然3 273，但是不能写成(27)13 3.2负分数指数幂：对于给定的正数a和正整数m，n(n1且m，n互素)，定义amn_.状元随笔 (1)类比负整数指数幂的定义 an1an，相对照而记忆；可以看出，负整数指数幂也是“化负为正”(2)定义了负分数指数幂之后，幂的指数就由原来的整数范围扩充到有理数范围1amn1n am要点二 分数指数幂与根式的互化(1)正分数指数幂的根式形式：amn
3、 n am(a0)(2)负分数指数幂的根式形式：amn1n am(a0，m，nN，且n1，且m，n互素)(3)0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义要点三 无理数指数幂一般地，给定正数a，对于任意的正无理数，可以用类似的方法定义一个实数a，自然地，规定：a 1a，例如，121,102110 2.基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)根式一定是无理式()(2)在分数指数幂amn 中，m与n可以为任意整数()(3)ap(p是无理数，a0)是一个实数且是一个无理数()(4)函数y1与yx0是同一函数()2若a68(a0)，则a等于()A68 B86C618D
4、816答案：D3若将432 写成根式，下列写法正确的是()A.3 42 B.43C.4 32 D.4 23答案：B4计算6423的值是_解析：6423 1642313 64213 163 116.答案：116题型一 分数指数幂的概念及应用自主完成1在(2x1)12 中，实数x的取值范围是_解析：由分数指数幂的意义知，应有2x10，解得x12，故实数x的取值范围是x12.答案：x122将下列各式中的a(a0)写成分数指数幂的形式：a354；a3(2)8；a3104m(mN)；a26.解析：a543；a(2)83，即a283；a1043m 1104m311043m；a612 1612.方法归纳(1
5、)分数指数幂是一个正实数，即bamn bnam，其中a，b均为正实数，且m，nZ，m，n互素(2)将bkd中的正实数b改写成分数指数幂的形式时，主要根据分数指数幂的意义，同时一定要注意式子中字母的取值要求题型二 分数指数幂与根式的互化师生共研例1(1)将下列各式化为根式：x12 y23；834；(2)将下列各式化为分数指数幂：3 x6；3 ab.解析：(1)x12 y23 x12y23x3 y2；834 4 834 51244 2.(2)3 x6x63 x2；3 aba13b12a13 b12.状元随笔 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式amn n am(a0，m，nN)，同时应注意以
6、下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式；(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简跟踪训练1 332 化为根式为_；用分数指数幂表示b3 a1为_解析：332 1332 13 3 39；b3 a1b12 a13.答案：39 b12 a13题型三 指数幂amn 的计算师生共研例2 计算下列各式的值：(1)823；(2)12513；(3)362532.解析：(1)823 3 823 644；(2)12513 11251313 12515；(3)3625 32 13625321362
7、53 1653125216.方法归纳 求指数幂的值时，首先要将指数幂转化为根式的形式，然后再进行计算注意积累和记忆10以内的常用的正整数的幂值，这是快速、准确进行幂值计算的关键跟踪训练2(1)1634 _.(2)16932_.(3)8162514_.解析：(1)1634 4 163238.(2)169 32 11693211693 14332764.(3)81625 146258114 4 62581 453453.答案：(1)8(2)2764(3)53 易错辨析 化简n an时忽视变量的取值范围致误例3 化简3 1 234 1 24_.解析：原式(1 2)|1 2|1 2 212 2.答案：2 2易错警示易错原因纠错心得忽视了120，则4 1 24 12，导致化简结果错误值为2.关于根式 n an的化简一定要弄清n是奇数还是偶数，并且还要明确a的正负一般结论为：n ana，n为奇数|a|，n为偶数(其中n2，且nN).