1、第六节指数与指数函数1有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：amn n am(a0，m，nN*，且n1)负分数指数幂：am-n 1amn 1n am(a0，m，nN*，且n1)0 的正分数指数幂等于,0 的负分数指数幂(2)有理数指数幂的性质aras(a0，r，sQ)；(ar)s(a0，r，sQ)；(ab)r(a0，b0，rQ)没有意义arsarsarbr0yaxa10a10a0 时，；x0 时，；x10y10y1增函数减函数 小题体验1(教材习题改编)函数 f(x)ax33 恒过定点_解析：当 x3 时，f(3)a3334，所以 f(x)恒过定点(3,4)答案：(3,4)2(教材习题改
2、编)函数 f(x)(a21)x 是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：由 0a211，得 1a22，所以 1|a|2，即 2a1 或 1a 2.答案：(2，1)(1，2)3已知 0.2m”或“答案：(1)6(2)4a4(1)2 33 1.56 12_.(2)2a23b126a12b13 3a16 b56 _.1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数 yax(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意区分 a1 或 0a1.小题纠偏1指数函数 y(2a)x 在定义域内是减函数，则 a
3、的取值范围是_答案：(1,2)2化简：n abnn abn(ab1，nN)_.解析：当 n 为奇数时，原式(ab)(ab)2a.当 n 为偶数时，ab0，ab0，ab0，原式(ab)(ab)2a.n abnn abn2a，n是奇数，2a，n是偶数.答案：2a，n是奇数，2a，n是偶数3有下列命题：当 a0 时，(a2)32a3；若 aR，则(a2a1)01；3 x4y3x43y；若 2x16,3y 127，则 xy7.其中正确命题的序号是_解析：a0，a30恒成立，(a2a1)01，故是正确的；3 x4y3(x4y3)13，故是错误的；2x16，x4，3y 12733，y3，xy4(3)1，故
4、是错误的故填.答案：4如果函数 f(x)a2x2ax1(a0，a1)在1,1上的最大值为 14，则 a_.解析：令 tax，若 a1，则 t1a，a；若 0a1 时，f(x)在 ta 处取得最大值 a22a114，得 a3.当 0a1 时，f(x)在 t1a处取得最大值1a22a114，得 a13.综上所述，a3 或13.答案：3 或13题组练透求值与化简：(1)23502221412(0.01)0.5；(2)(易错题)56a13b23a12b1 4a23b312；(3)a23b112a12b136 ab5.考点一 指数幂的化简与求值基础送分型考点自主练透解：(1)原式114491211001
5、211423 110116 1101615.(2)原式52a16b3(4a23b3)1254a16b3(a13b32)54a12b3254 1ab35 ab4ab2.(3)原式a13b12a12b13a16b56a13 12 16b121356+1a.谨记通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答提醒 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有
6、负指数如“题组练透”第(2)题易错考点二 指数函数的图象及应用重点保分型考点师生共研典例引领1若函数 yaxm1 的图象经过第一、三、四象限，则实数 a，m 的取值范围分别为_解析：当 x0 时，ym1.答案：(1，)，(，0)2若曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，求 b的取值范围解：曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)由题悟法指数函数图象的画法及应用(1)画指数函数 yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.(2)与指数函数有关的函数的图象
7、的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解即时应用1已知 a0 且 a1，函数 y|ax1|与 y2a 的图象有两个交点，则 a 的取值范围是_解析：当 0a1 时，y|ax1|的图象如图 1 所示，由已知得 02a1，所以 0a1 时，y|ax1|的图象如图 2 所示，由已知可得 02a1，所以 0a12，故 a.综上可知，0a12.答案：0，122若函数 y|3x1|在(，k上单调递减，求 k 的取值范围解：函数 y|3x1|的图象是由函数 y3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于 x 轴
8、下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上单调递减，所以 k 的取值范围是(，0考点三 指数函数的性质及应用常考常新型考点多角探明命题分析高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题常见的命题角度有：(1)比较指数式的大小；(2)简单指数不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质题点全练角度一：比较指数式的大小1(2015河南信阳二调)已知 a351-3，b351-4，c323-4，则a，b，c 的大小关系是_解析：因为1314351-43501，即 ab1，且323-43201，所以 c1，综上，cba.答案：cba角度二：简单指
9、数不等式的应用2设函数 f(x)2|x1|x1|，求使 f(x)2 2的 x 的取值范围解：y2x 是增函数，f(x)2 2等价于|x1|x1|32.(1)当 x1 时，|x1|x1|2，式恒成立(2)当1x1 时，|x1|x1|2x，式化为 2x32，即34x0，3a4a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.(3)由指数函数的性质知，要使 y13g(x)的值域为(0，)应使 g(x)ax24x3 的值域为 R，因此只能 a0.(因为若 a0，则 g(x)为二次函数，其值域不可能为 R)故 f(x)的值域为(0，)时，a 的值为 0.方法归纳应用指数函数性质的常见 3 大题型及求解策略 题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致提醒 在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论结 束 “课后三维演练”见“课时跟踪检测(九)”(单击进入电子文档)