1、高考总复习第（1）轮理科数学第九单元解析几何第66讲 曲线与方程1掌握求轨迹的一般方法和求解步骤 2能熟练地运用直接法、定义法和代入法等方法求动点的轨迹方程 1“曲线与方程”与“方程的曲线”在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线 2求动点轨迹方程的步骤(1)建立适当的坐标系；(2)设轨迹上的任一点 P(x，y)；(3)列出动点 P 所满足的关系式；(4)依关系式的特点，
2、选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于 x，y 的方程，并化简；(5)证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程 建系设点列式代换证明3求轨迹方程的常用方法(1)直接法：求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|P(M)直接翻译成 x、y 的形式F(x，y)0，然后进行 变换，化简为 f(x，y)0.(2)定义法：从分析问题的特点入手，运用有关知识，得出动点所满足的几何条件符合某一基本轨迹或二次曲线的定义，从而利用曲线的定义或利用其方程的一般形式采用待定系数法求出动点的轨迹方程 等价(3)代入法：此法又称相关点法，其特点是，动点随某已知曲线上的点运动而运动，将已知曲线上的点的坐
3、标用动点的坐标表示，并代入已知曲线方程化简得轨迹方程 求轨迹的方程还有参数法、交轨法、整体法等本节我们重点研究上述三种方法 1方程(xy1)x2y240 表示的曲线是()A一直线与一圆B一直线与一半圆 C两射线与一圆D两射线与一半圆 解：由式可知xy10，x2y240，或 x2y240，前者表示直线 xy10 在圆 x2y24 上及圆外的部分，后者表示 x2y24.所以选 C.答案：C2已知 M(3,0)，N(3,0)，动点 P 满足PM PN0，则 P点的轨迹方程为()A.x29y21Bx2y29 Cx2y29Dx2y225 解：(方法 1：直接法)设 P(x，y)，则 PM(x3，y)，P
4、N(x3，y)，因为 PM PN 0，所以(x3)(x3)y20，即 x2y29.(方法 2：定义法)因为 PM PN 0，所以 PM PN，所以P 点的轨迹是以 MN 为直径的圆，其方程为 x2y29.答案：B3到两个定点 A(0，2)，B(0,2)距离之和为 6 的点的轨迹方程为()A.x29y241B.y29x251 C.x29y241D.y29x251 解：因为|PA|PB|6|AB|，所以由椭圆的定义知，动点 P 的轨迹是以 A(0，2)，B(0,2)为两焦点，长轴长为 6 的椭圆 设所求椭圆方程为y2a2x2b21(ab0)，因为 2a6，所以 a3，又 c2，所以 b2a2c25
5、.所以动点 P 的轨迹方程为y29x251.答案：B4到点 F(0,4)的距离比到直线 y5 的距离小 1 的动点的轨迹方程为()Ay16x2By16x2 Cx216yDx216y 解：由条件知：动点 M 到 F(0,4)的距离与到直线 y4的距离相等，所以点 M 的轨迹是以 F(0,4)为焦点，直线 y4 为准线的抛物线，其标准方程为 x216y.答案：C5.设 P 点为双曲线x24y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程为 .解：(代入法)设 P(x1，y1)，M(x，y)，则 x102x，y102y，所以 x12x，y12y.因为x214y211，
6、所以 x24y21.答案：x24y21直接法求轨迹方程定义法求轨迹方程代入法求轨迹方程考点1直接法求轨迹方程【例 1】如图，圆 O1 与圆 O2 的半径都等于 1，O1O24.过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，使得 PM 2PN.试建立平面直角坐标系，并求动点 P的轨迹方程 解：以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在的直线为 x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 O1(2,0)，O2(2,0)，设 P(x，y)由已知 PM 2PN，得 PM22PN2.因为两圆的半径均为 1，所以 PO2112(PO221)所以(x2)2y212(x2)
7、2y21，化简得(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.【变式探究】1已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦长MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程 解：如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意得，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过点O1作O1HMN交MN于点H，则H是MN的中点，所以|O1M|x242，又|O1A|x42y2，所以 x42y2 x242，化简得y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x.所以动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.点评：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，其基本步骤是：建系，设点，列式
8、，代换、化简，证明其中“列式”就是寻找动点满足的“限制”条件，“证明”这一步有时可省略因此可用“建设限(现)代化”进行记忆 考点2定义法求轨迹方程【例2】设圆C与两圆(x 5)2y24，(x 5)2y24中的一个内切，另一个外切求圆C的圆心轨迹L的方程 解：设两圆的圆心分别为F1(5，0)，F2(5，0)，圆C的圆心C.依题意有|CF1|2|CF2|2，或|CF2|2|CF1|2，所以|CF2|CF1|42a2 3|MN|.所以 G 点的轨迹是以 M，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆所以 2a4，2c2 3，所以 a2，c 3，所以 b1.所以所求点 G 的轨迹 C 的方程为x24y21.点评
9、：运用定义法求动点轨迹方程的基本步骤：第一步：分析动点满足的几何条件符合某已知曲线的定义；第二步：利用待定系数法确定方程中的参数 考点3代入法求轨迹方程【例3】双曲线 x2a2 y2b21(a0，b0)的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程 解：设P(x0，y0)(xa)，Q(x，y)，A1(a,0)，A2(a,0)由条件 yxay0 x0a1，yxay0 x0a1，得x0 xx0a，y0 x2a2y.而点P(x0，y0)在双曲线上，所以b2x20a2y20a2b2，即b2(x)2a2(x2a2y)2a2b2，化简得
10、Q点的轨迹方程为a2x2b2y2a4(xa)【变式探究】3(2018河北五校高三联考节选)在直角坐标系 xOy 中，长为 21 的线段两端点 C，D 分别在 x 轴、y 轴上滑动.CP 2 PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.求曲线 E 的方程解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)，因为|CD|21，所以 m2n2(21)2，由CP 2 PD，得(xm，y)2(x，ny)，所以xm 2x，y 2ny.得m 21x，n 212 y.因为 m2n2(21)2，所以(21)2x2 2122y2(21)2，整理，得曲线 E 的方程为 x2y221.点评：(1)代入法求轨迹方程的一般步骤：
11、分析特点：与动点M(x，y)相关的点P(x0，y0)在已知曲线上运动；寻找关系：x0f(x，y)，y0g(x，y)；代入曲线：将x0，y0代入已知曲线方程；化简整理：化简，整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程(2)利用代入法的关键是找出动点与已知曲线的动点坐标间的关系，要注意分析动点与相关点的变化规律，找到与相关点的联系 1求轨迹方程的方法一般有直接法(“五步法”、定义法等)和间接法(如代入法、参数法等)，在具体求方程时，要根据问题的特点灵活地选取 2求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求出轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 3运用直接法，最关键的一步是把几何条件“翻译”成代数方程，要注意这个“翻译”的等价性；运用“定义法”的关键是判断所求轨迹符合某已知曲线的定义；运用代入法的关键是找到动点与相关点之间的联系 4轨迹问题是高考重点考查内容，常常作为解析几何中的第一问，常与最值、定值、探索性问题等结合在一起进行考查 点击进入WORD链接