1、四川省眉山市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理共4页满分150分考试时间120分钟注意事项：1答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号2答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上3所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效4考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1. 抛物线的准线方程为A.B. C D2. 棱长为2的正四面体的表面积为A. B.C. D. 3. 设l, m是两条不同的直线
2、，是一个平面，则下列说法正确的是A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知为实数，直线与直线垂直，则A. 0或3 B. 3C. 0D. 无解5已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为A BCD6下列说法正确的是A若“且”为真命题，则中至多有一个为真命题；B命题“若，则”的否命题为“若，则”；C命题“”的否定是“”；D命题“若，则”的逆否命题为真命题.7椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的直线方程是ABCD8直线，“”是“圆上至少有三个点到直线的距离为1”的A既不充分也不必要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D充要条件9. 在底面是正方形的四棱柱ABC
3、DA1B1C1D1中，AB=1,BB1=2,A1AD=A1AB=，则A. B.C. D. 210. 椭圆的长轴为，短轴为，将坐标平面沿轴翻折成一个锐二面角，且点在平面上的射影是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为A. 60B. 45 C. 30 以上答案均不正确11.设F1、F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段垂直平分线经过F2,若C1和C2的离心率分别为、，则的最小值A. 2B. 4C. 6D. 812. 正方体的棱长为3，点分别在棱上，且，下列几个命题：异面直线与垂直；过点 的平面截正方体，截面为等腰梯形；三棱锥的体积为 过点作平面，使得,则平面截正方体所得
4、的截面面积为. 其中真命题的个数是A. 4B. 3 C. 2D. 1二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上13. 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为_.14. 已知等腰直角三角形ABC中，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥CABD的外接球的表面积为 .15. 直线的倾斜角为锐角，且和圆及圆都相切，则直线的斜率为 .16. 实数满足，则点（）到直线的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17（本小题10分）点（4，4）在抛物线上，且，B为C上两点，点A与点
5、B的横坐标之和为4（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率18（本小题12分）ABCDFE如图：在多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，F是CD的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；19（本小题12分）AB C E F G 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值 20（本小题12分）已知直线过坐标原点，圆的方程为（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程21（本小题12分）A1ACBDD1C1B1MN已知直四棱柱的棱长均相等，且，是侧棱的中点，是棱上的点（1）求异面直线
6、与所成角的余弦值；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置22（本小题12分）已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记M的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点.求证：； 求的最大值.眉山市高中2022届第三学期期末教学质量检测 数学（理科）参考答案 2021.01一、选择题题号123456789101112答案BDCACBADACDB二、填空题1328 1412 15 16三、解答题17解：（1）因为点（4，4）在抛物线上，代入得：162p4p2， 3分所以抛物线C的方程为x24y 4分（2） 设，且x1+x24， 设直线， 6分， 8分， 9分故直线AB的斜率
7、为1 10分18解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，F是CD的中点 MFDE且MFDE 1分AB平面ACD，DE平面ACDABDE，MFAB ABDEMFAB 3分四边形ABMF是平行四边形AFBM，AF平面BCE，BM平面BCE AF平面BCE 6分（没有写AF平面BCE，扣1分）（2） 证明：ACAD AFCD，又DE平面ACD AF平面ACDAFDE，又CDDED AF平面CDE 9分又BMAF，BM平面CDEBM平面BCE 平面BCE平面CDE 12分（没有写CDDED，扣1分） 19证明：（）取BC的中点为D，连结DF由ABCEFG是三棱台得，平面ABC平面EFG，从而B
8、CFGCB2GF，四边形CDFG为平行四边形，CGDFBFCF，D为BC的中点，DFBC，CGBC平面ABC平面BCGF，且交线为BC，CG平面BCGF，CG平面ABC，而AB平面ABC，CGAB6分（）连结AD由ABC是正三角形，且D为中点得，ADBC由（）知，CG平面ABC，CGDF，DFAD，DFBC，DB，DF，DA两两垂直以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz设BC2，则A（0，0，），E（，），B（1，0，0），G（，0），（，），0，设平面BEG的一个法向量为（，）.由可得，令，则y2，z1，2，设AE与平面BEG所成角为，则直线AE与平面BE
9、G所成角的正弦值为 12分20解（1）由已知，直线l的方程为，圆C圆心为（0，3），半径为， 所以，圆心到直线l的距离为所以，所求弦长为 6分（2）法1： 设A（x，y1），因为A为OB的中点，则B（，）又A，B在圆C上，所以， 8分解得， 即A（1，1）或A（，1） 10分所以，直线l的方程为或 12分法2：法2：当直线的斜率不存在，即为时，,不合题意。当直线的斜率存在时，设为， 7分 8分 为的中点， 9分 由（1）（2）（3）可得，即 10分 所以，直线l的方程为或 12分21解：（1）连结BD，取AB的中点E，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均相等，底面ABCD是菱形，BAD60
10、，ABD是正三角形，DEAB，ABDC，DEDC，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，DD1DC，DD1DE，分别以直线DE，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 1分 设直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2，则D（0，0，0），A（，1，0），B（，1，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），M（0，0，1）， 2分 （，1，2），（，1，1）， 3分 设异面直线BD1与AM所成角为，则， 5分异面直线BD1与AM所成角的余弦值为 6分（2）由（1）知（，3，0），（，1，1），设平面AMC的法向量（x，y，z），则，取y1，得（，1，2）， 8分设N（0，2），02，则（0，2，2），设平面ACN的法向量（a，b，c），则，取b1，得（，1，）， 10分二面角MACN的大小为，cos，解得2，当二面角MACN的大小为，点N与点C1重合 12分22.解：（1）由题设得，化简得 3分（2） 设直线的方程为， 4分 ， 7分（3）法1：直线的方程为，所以点的纵坐标，所以=,同理可得= 8分， 9分令所以， 10分由双勾函数单调性可知，当时， 有最大值 12分法（2）接第二问，由等面积法得：， 10分令 ，所以，由双勾函数单调性可知，时，有最大值 12分