1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专项强化训练(四)立体几何的综合问题1.如图,在边长为1的等边ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将ABF沿AF折起,得到如图所示的三棱锥A-BCF,其中BC=.(1)证明:DE平面BCF.(2)证明:CF平面ABF.(3)当AD=时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.【解析】(1)在等边ABC中,AD=AE,所以=,在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DEBC.因为DE平面BCF,BC平面BCF,所以DE平面
2、BCF.(2)在等边ABC中,F是BC的中点,所以AFFC,BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中,BC=,所以BC2=BF2+CF2,CFBF.因为BFAF=F,所以CF平面ABF.(3)由(1)可知GECF,结合(2)可得GE平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=DGFGGE=.【加固训练】(2015佛山模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D -ABC,如图2所示.(1)求证:ADBC.(2)在CD上找一点F,使AD平面EFB.【解析】(1)在题图1中,可得AC=BC=2,
3、从而AC2+BC2=AB2,所以ACBC.因为平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面ADC.又AD平面ADC,所以ADBC.(2)取CD的中点F,连接EF,BF,在ACD中,因为E,F分别为AC,DC的中点,所以ADEF,EF平面EFB,AD平面EFB,所以AD平面EFB.2.(2015南阳模拟)如图所示,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,AE平面CDE.(1)求证:AB平面ADE.(2)在线段BE上存在点M,使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为,试确定点M的位置.【解析】(1)因为AE平面CDE,CD平面CDE,所以AEC
4、D.在正方形ABCD中,CDAD,因为ADAE=A,所以CD平面ADE.因为ABCD,所以AB平面ADE.(2)由(1)知平面EAD平面ABCD,取AD中点O,连接EO,因为EA=ED,所以EOAD,所以EO平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1),设M(x,y,z),所以=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),因为B,M,E三点共线,所以=,所以M(1-,2-2,),所以=(-,2-2,).设AM与平面AED所成的角为,因为平面AED的法向量n=(0,1,0),所以sin=|cos|=,解得=.即M为BE的中点.【
5、方法技巧】求直线与平面所成角的方法及注意点1.方法:有传统法和向量法两种.传统法关键是找斜线在平面内的射影,从而找出线面角;向量法则可建立坐标系,利用向量的运算求解.2.注意点:注意直线与平面所成角的范围为.3.(2015济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,ABCD,AD=CD=2AB,E,F分别为PC,CD的中点.(1)求证:CD平面BEF.(2)设PA=kAB(k0),且二面角E-BD-C的大小为30,求此时k的值.【解题提示】以A为坐标原点建立空间直角坐标系,(1)求出,证明=0,=0.(2)求出两个平面的法向量,利用向量的夹角公式构建方程求解.【解析
6、】以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴,以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),P(0,0,k),B(1,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),E,F(1,2,0).(1)因为=,=(0,2,0),=(-2,0,0),所以=0,=0,所以CDBE,CDBF,BEBF=B,所以CD平面BEF.(2)设平面BCD的一个法向量为n1,则n1=(0,0,1),设平面BDE的一个法向量为n2=(x,y,z),因为=(-1,2,0),=,所以所以n2=.因为二面角E-BD-C等于30,所以|cos|=,所以=3,即15k2=4,又因为k0,所以k=.4.(20
7、15惠州模拟)如图,已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求O点到平面ABC的距离.(2)求二面角E-AB-C的正弦值.【解析】方法一:(1)取BC的中点D,连AD,OD,因为OB=OC,则ODBC,ADBC,所以BC平面OAD.过O点作OHAD于H,则OH平面ABC,OH的长就是所要求的距离.BC=2,OD=.因为OAOB,OAOC,所以OA平面OBC,则OAOD.AD=,在直角三角形OAD中,有OH=.另解:由V=SABCOH=OAOBOC=知,OH=.(2)连接CH并延长交AB于F,连接OF,EF.因为OC面OAB,所以OC
8、AB.又因为OH平面ABC,所以CFAB,EFAB,则EFC就是所求二面角的平面角.作EGCF于G,则EG=OH=.在直角三角形OAB中,OF=,在直角三角形OEF中,EF=,sinEFG=,故所求的正弦值是.方法二:(1)以O为原点,OB,OC,OA分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则由n1知:n1=2x-z=0;由n1知:n1=2y-z=0,取n1=(1,1,2),则点O到面ABC的距离为d=.(2)=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0),=(2,0,0)
9、-(0,0,1)=(2,0,-1),设平面EAB的一个法向量为n=(x,y,z),则由n知:n=2x-z=0;由n知:n=2x-y=0.取n=(1,2,2).由(1)知平面ABC的法向量为n1=(1,1,2),则cos=.结合图形可知,二面角E-AB-C的正弦值是.【加固训练】(2015长春模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60的角,AA1=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC1上一点,且BE=BC1.(1)求证:GE侧面AA1B1B.(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值.【解析】(1)因
10、为侧面AA1B1B底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60的角,所以A1AB=60,又AA1=AB=2,取AB的中点O,则A1O底面ABC.以O为原点建立空间直角坐标系,如图,则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(,0,0),A1(0,0,),B1(0,2,),C1(,1,).因为G为ABC的重心,所以G.因为=,所以E,连接AB1,所以=.又GE侧面AA1B1B,AB1侧面AA1B1B,所以GE侧面AA1B1B.(2)设平面B1GE的一个法向量为n=(a,b,c),则由得可取n=(,-1,).又底面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,
11、则cos=.由于为锐角,所以sin=,进而tan=.故平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值为.5.(2015武汉模拟)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,DAB=60,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EFAC,EFAC=O,将CEF沿EF翻折到PEF的位置,使平面PEF平面ABFED.(1)求证BD平面POA.(2)当PB取得最小值时,请解答以下问题:求四棱锥P-BFED的体积;若点Q满足=(0),试探究:直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于?并说明理由.【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC,所以BDAO.因为平面PEF平面ABFED,平面
12、PEF平面ABFED=EF,POEF,PO平面PEF,所以PO平面ABFED.因为BD平面ABFED,所以POBD.因为AOPO=O,所以BD平面POA.(2)如图所示,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz.设AOBD=H.因为DAB=60,所以BDC为等边三角形,故BD=4,HB=2,HC=2.设PO=x,则OH=2-x,OA=4-x,所以O(0,0,0),P(0,0,x),B(2-x,2,0),故=-=(2-x,2,-x),所以|=,当x=时,|取得最小值,即|=.此时PO=,OH=.由(1)知PO平面BFED,所以V四棱锥P-BFED=S梯形BFEDPO=3.设点Q的坐标为(a,0,c),由知A(3,0,0),B(,2,0), D(,-2,0),P(0,0,).所以=(a-3,0,c),=(-a,0,-c).因为=,所以解得所以Q,所以=.设平面PBD的一个法向量为n=(x,y,z),则n=0,n=0.因为=(,2,-),=(0,-4,0),所以取x=1,解得y=0,z=1,所以n=(1,0,1).设直线OQ与平面PBD所成的角为,则sin=|cos|=.又因为0,所以sin.因为,所以.所以直线OQ与平面PBD所成的角一定大于.关闭Word文档返回原板块