1、课时分层作业(二十八)指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(建议用时：40分钟)一、选择题1某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数 D对数型函数D由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢，只有对数函数的增长符合2当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()Ay10xBylg xCyx10 Dy10xD由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y10x的增长速度最快3如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y
2、(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A指数函数：y2tB对数函数：ylog2tC幂函数：yt3D二次函数：y2t2A由图可知函数在第一象限内是一个增函数，并且增长速度较快，且图象过点(2，4)，(4，16)，因此利用指数函数模型拟合较好4有一组试验数据如下表所示：x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变故选C.5四人赛
3、跑，假设他们走过的路fi(x)(i1，2，3，4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2 Bf2(x)4xCf3(x)log2x Df4(x)2xD显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x，故选D.二、填空题6在函数y3x，ylog3x，y3x，yx3中增长速度最快的是_y3x由指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异可判断出y3x的增长速度最快7函数yx2与函数yx ln x在区间(1，)上增长较快的一
4、个是_yx2当x变大时，x比ln x增长要快，x2要比x ln x增长的要快8某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：前三年中产量增长的速度越来越快；前三年中产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的是_由t0，3的图象，联想到幂函数yxa(0a1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t3，8的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停止生产三、解答题9某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y(单位：万元)随销
5、售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y0.25x，ylog7x1，y1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解作出函数y5，y0.25x，ylog7x1，y1.002x的图象(如图).观察图象发现，在区间10，1 000上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图象始终在y5和y0.25x的下方，这说明只有按模型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求10某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型yax2
6、bxc，乙选择了模型ypqxr，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？解令yf(x)ax2bxc，依题意，得即解得所以甲：y1x2x52，令yg(x)pqxr.又，得pq2pq12，得pq3pq24，得q2.将q2代入式，得p1.将q2，p1代入式，得r50，所以乙：y22x50.计算当x4时，y164，y266；当x5时，y172，y282；当x6时，y182，y2114.可见，乙选择的模型较好11今有一组实验数据如下：t23456v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一
7、个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个是()Avlog2tBvlogtCv Dv2t2C由表中数据可知，当t增大时，v也随着增大，所以B不正确又当t2时，v1.5，所以A、D不正确，C符合要求12四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()Aa：y2xb：yx2c：y d：y2xBa：yx2b：y2xc：y2xd：yCa：yx2b：y2xc：y d：y2xDa：yaxb：yx2c：y2xd：yC根据幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的特点，a，c对应的函数分别是幂指数大于1和幂指数大于0小于1的幂函数b，d对应的函数分别为底数大于1和底数大于0小于1
8、的指数函数13当0x1时，f(x)x2，g(x)x，h(x)x2的大小关系是()Ah(x)g(x)f(x) Bh(x)f(x)g(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)g(x)h(x)D取特殊值x代入可排除A、B、C.14生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应_；B对应_；C对应_；D对应_(4)(1)(3)(2)A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快慢快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的
9、变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应15假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN)进行描述；方案二可以用函数y10x(xN)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN)进行描述要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析画出三个函数的图象，如图所示，由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方
10、案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元下面再看累计的回报数列表如下：因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三